Transcript: Triunghiul dreptunghic

Proprietățile triunghiului dreptunghic
Un triungh care are un ungh drept se numește triungh dreptunghic.
În triunghul ABC observăm că măsura unghiului A este de 90 grade,
vom spune că triunghul ABC este dreptunghic în A,
iar în cazul triunghului DEF observăm că măsura unghiului D este de 90 grade
și vom spune că acesta este un triungh dreptunghic în D.
Laturile care formează unghiul drept se vor numi catete,
iar latura care se opune unghiului drept se numește ipotenuză.
În triunghul ABC catetele sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC.
Un triungh dreptunghic care are catetele congruente se va numi triungh dreptunghic isoscel.
Vom da următoarea teoremă.
Într-un triungh dreptunghic lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei
este jumătate din lungimea ipotenuzei.
Construim un triungh dreptunghic ABC cu măsura unghiului A de 90 grade.
Am dus în acest triungh mediana corespunzătoare ipotenuzei,
aceasta este AO, unde O este mijlocul segmentului CB.
Trebuie să demonstrăm că lungimea segmentului AO este jumătate din lungimea segmentului BC.
Pentru a demonstra această teoremă vom face o construcție ajutătoare.
O să prelungim segmentul AO cu un alt segment având aceeași lungime cu acesta,
pe care l-am notat cu OM.
Apoi unim punctele CM și M cu B.
Să anunțăm construcția făcută,
demonstrație,
fie OM având aceeași lungime cu AO.
Va rezulta că AO este AM supra 2,
adică jumătate din AM.
Și notez această relație cu 1.
Scopul nostru este să arătăm că AM este egal cu BC.
În concluzie se cere să arătăm că AO este jumătate din BC,
dar dacă vom reuși să arătăm că BC și AM sunt două segmente egale,
atunci va rezulta implicit că AO este jumătate din BC.
Însă mai întâi vom arăta că segmentele CM și AB sunt congruente.
Vom compara triunghiul COM cu triunghiul BOA.
Știm din ipoteză că CO este congruent cu OB.
Mai știm că OM este congruent cu OA din construcția pe care am făcut-o.
Și mai observăm că cele două triunghiuri au două unghiuri congruente.
Acestea sunt unghiuri opuse la vârf.
Unghiul COM va fi congruent cu unghiul BOA.
Acestea sunt unghiuri opuse la vârf.
Din aceste trei relații va rezulta, conform cazului de congruență latură-unghi-latură,
că triunghiul COM este congruent cu triunghiul BOA.
Din congruența acestor două triunghiuri va rezulta, pe de-o parte, congruența segmentelor CM și AB.
CM va fi congruent cu AB.
Și pe de altă parte rezultă că unghiul CMO este congruent cu unghiul BO.
Dacă ne uităm la dreptele CM și AB și considerăm AM o secantă a acestora, observăm că s-au format două unghiuri alterne interne.
Acestea sunt unghiurile CMO și BO.
Dar noi am demonstrat deja că aceste unghiuri sunt congruente.
Ele fiind unghiuri alterne interne congruente, va rezulta că CM este paralelă cu AB.
Unghiurile CMO și BO sunt unghiuri alterne interne, ele fiind și congruente.
Va rezulta că CM este paralelă cu AB.
Dar AB este perpendiculară pe AC.
CM fiind paralelă cu AB, iar AB fiind perpendiculară pe AC, va rezulta că CM este perpendiculară pe AC.
Deci aici avem un ungh drept.
Din aceste două relații rezultă că CM va fi perpendiculară pe AC.
Înseamnă că triunghiul MAC este un triunghi dreptunghic.
Având măsura unghiului MCA egală cu 90 grade.
Acum comparăm triunghiurile MCA și BAC.
Vom arăta că acestea sunt triunghiuri congruente.
Comparăm triunghiul MCA cu triunghiul BAC.
Ne gândim la cazurile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice.
Am demonstrat anterior că CM este congruent cu AB.
Acestea sunt catete în cele două triunghiuri.
Iar AC este o latură comună. Aceasta este cateta în fiecare dintre cele două triunghiuri.
Așadar, cele două triunghiuri dreptunghice sunt congruente conform cazului cateta-cateta.
Notez această relație cu 2.
CM este congruent cu AB.
Din relația 2, AC este congruent cu AC,
fiind o latură comună.
Din aceste două relații, rezultă conform cazului de congruență cateta-cateta
că triunghiul MCA este congruent cu triunghiul BAC.
Din această relație, rezultă că AM este congruent cu BC.
La începutul demonstrației spuneam că scopul este să arătăm că AM este egal cu BC.
Așadar, putem să scriem că lungimea segmentului AM este egală cu lungimea segmentului BC.
Dar din relația 1, pe care o să o mai scriu o dată, AO este egal cu AM supra 2.
Și atunci, din aceste două relații, putem să scriem că AO este egal cu BC supra 2.
Așadar, am arătat că într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei
este jumătate din lungimea ipotenuzei.
Urmează o altă teoremă.
Dacă într-un triunghi dreptunghic, măsura unui unghi este de 30 de grade,
atunci cateta opusă acestuia este jumătate din ipotenuză.
Avem un triunghi dreptunghic ABC și presupunem că măsura unghiului B este de 30 de grade.
Cateta care se opune acestui unghi este AC.
Va trebui să demonstrăm că AC este jumătate din ipotenuză, adică jumătate din BC.
Pentru a demonstra această teoremă, o să fixăm mijlocul laturii BC, pe care o să-l notăm cu M și construim mediana AM.
Demonstrație.
Fie M un punct situat pe latura BC, astfel încât BM să fie egal cu CM.
Deci AM este mediana.
Știm din teorema anterioară că mediana este jumătate din ipotenuză.
Deci AM este BC supra 2.
Înseamnă că AM va fi egală și cu BM și cu CM.
Rezultă AM egal cu BM și egal mai departe cu CM.
Notez această relație cu 1.
Dacă AM este egal cu MB, înseamnă că triunghiul AMB este isoscel.
Va rezulta de aici că triunghiul AMB este un triunghi isoscel cu baza AB.
Știm că într-un triunghi isoscel, unghiurile alăturate bazei sunt congruente și măsura unghiului MAB va fi tot de 30 de grade.
Rezultă că măsura unghiului MAB este egală cu măsura unghiului MBA și egală cu 30 de grade.
Putem calcula acum măsura unghiului CAM.
Aceasta va fi 90 de grade minus 30 de grade, egal cu 60 de grade.
Măsura unghiului CAM este egală cu 90 de grade minus măsura unghiului MAB.
Egal mai departe cu 90 de grade minus 30 de grade, egal cu 60 de grade.
Dar dacă AM este egală cu CAM, rezultă că și triunghiul AMC este un triunghi isoscel.
Însă un triunghi isoscel care are un unghi cu măsura de 60 de grade este triunghi echilateral.
Înseamnă că AC va fi egală și cu AM.
Deci AC va fi și a jumătate din ipotenuza BC.
Din relația 1 rezultă că triunghiul AMC este un triunghi isoscel.
Dar pentru că acest triunghi are și un unghi cu măsura de 60 de grade, va rezulta că triunghiul AMC este echilateral.
Un triunghi echilateral are toate laturile egale, deci AC va fi egal cu AM.
Însă AM este BC supra 2, deci rezultă că AC va fi egal cu BC supra 2.
Am demonstrat că într-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unui unghi cu măsura de 30 de grade este egală cu jumătate din ipotenuză.