Transcript: Trapezul (Teorie)

Trapezul. Patrulaterul care are două laturi paralele și două laturi neparalele se numește trapez.
În figura de mai jos, AB este paralelă cu CD, iar celelalte două laturi, AD și BC, sunt laturi neparalele.
Laturile paralele se mai numesc și baze, AB se va numi baza mare, iar CD se va numi baza mică.
Dacă ducem o perpendiculară din D pe AB, atunci segmentul DM se va numi înălțimea trapezului.
Avem următoarea clasificare a trapezului. Trapezul din imagine este un trapez oarecare, deoarece laturile neparalele nu sunt congruente.
Apoi mai există trapez dreptunghic. Acesta este trapezul în care una din laturile neparalele este perpendiculară pe baze.
Și un al treilea tip de trapez este trapezul isoscel. Acesta este trapezul care are laturile neparalele congruente.
Deci MQ este congruentă cu PN.
În continuare o să dăm o proprietate a trapezului.
Într-un trapez, unghiurile situate de o parte și de alta a laturilor neparalele sunt suplementare.
De exemplu, măsura unghiului A plus măsura unghiului D va fi egală cu 180 de grade.
La fel și măsura unghiului B plus măsura unghiului C va fi egală cu 180 de grade.
Pentru a demonstra această proprietate, prelungim segmentul AB.
Unghiul acesta care s-a format și pe care îl voi nota cu X este congruent cu unghiul D.
Pentru că unghiul D și unghiul X sunt unghiuri alterne interne, având în vedere că AB este paralelă cu CD iar AD este o secantă.
Deci unghiul D are aceeași măsură cu unghiul X.
Însă unghiul X împreună cu unghiul A formează un unghi alungit, deci unghiul X este suplementar cu unghiul A.
Va rezulta atunci că și unghiul A și unghiul D vor fi unghiuri suplementare.
În continuare o să discutăm despre proprietățile trapezului isoscel.
O primă proprietate anunțată sub forma unei teoreme, într-un trapez isoscel, unghiurile alăturate unei baze sunt congruente.
Avem un trapez ABCD în care se știe că AD este congruentă cu BC și trebuie să demonstrăm că unghiul A este congruent cu unghiul B și unghiul D este congruent cu unghiul C.
Pentru a demonstra această teoremă o să facem o construcție ajutătoare.
O să ducem perpendicularele din D și din C pe latura AB.
Am construit DM și CN perpendiculare pe AB.
Fie DM perpendiculară pe AB și CN perpendiculară pe AB.
Pentru că aceste două drepte sunt perpendiculare pe AB, va rezulta că ele sunt paralele.
DM va fi paralelă cu CN, dar DC este paralelă cu AB din ipoteză.
AB paralelă cu CD va rezulta atunci că acest patrulater DCNM este un paralelogram.
Însă în acest paralelogram avem un unghi drept, măsura unghiului M sau măsura unghiului N este egală cu 90 grade din construcție.
Înseamnă că acest patrulater este drept unghi.
DCNM va fi drept unghi.
Într-un drept unghi știm că laturile opuse sunt congruente două câte două.
Va rezulta atunci că DM este congruentă cu CN.
Rezultă DM congruent cu CN.
Acum vom demonstra că triunghiurile DM, A și CN, B sunt triunghiuri congruente.
Iar din congruența acestor două triunghiuri va rezulta că și unghiurile A și B vor fi congruente.
Avem așadar două triunghiuri drept unghice, DM, A și CN, B.
Până acum am arătat că acestea au catetele DM și CN congruente.
Însă mai știm și din ipoteză că AD este congruentă cu BC pentru că ABCD este trapez isoscel.
AD congruent cu BC din ipoteză.
Va rezulta, conform cazului de congruență ipotenuză catetă,
că aceste două triunghiuri sunt congruente.
Triunghiul DM, A este congruent cu triunghiul CN, B.
Iar congruența acestor triunghiuri implică congruența unghiurilor A și B.
Pentru a demonstra că unghiul D este congruent cu unghiul C,
se prelungește latura DC și se face o altă construcție ajutătoare.
Se duc perpendicularele din A și B pe prelungirea laturii DC.
Nu voi mai face această demonstrație.
Rețineți că într-un trapez isoscel, unghiurile alăturate bazelor sunt unghiuri congruente.
Este valabilă și reciproca acestei teoreme.
Dacă într-un trapez, unghiurile alătorate unei baze sunt congruente,
atunci trapezul este isoscel.
Am făcut aceeași construcție ajutătoare.
Am dus perpendicularele din D și C pe latura AB.
Așadar, avem un trapez. Presupunem că este un trapez oarecare
și știm că unghiul A este congruent cu unghiul B.
Trebuie să arătăm că AD este congruentă cu BC.
Demonstrația se face asemănător cu demonstrația teoremei 1.
Se arată că DCNM este drept unghi.
Apoi comparăm triunghiurile DMA și CNB.
Având în vedere că DM este perpendiculară pe AB și CN este perpendiculară pe AB,
va rezulta că DCNM este drept unghi,
de unde rezultă că DM este congruentă cu CN.
Apoi, în triunghiurile DMA și CNB,
avem următoarele elemente congruente.
DM este congruent cu CN,
iar unghiul A este congruent cu unghiul B.
Acest lucru se știe din ipoteză.
Va rezulta, conform cazului de congruență catetă unghi,
că triunghiul DMA este congruent cu triunghiul CNB,
iar din această relație de congruență va rezulta că AD este congruentă cu BC.
Deci rețineți că dacă un trapez are două unghiuri alăturate bazei congruente,
atunci trapezul este isoscel.
O altă proprietate a trapezului isoscel,
enunțată sub forma teoremei numărul 3,
diagonalele unui trapez isoscel sunt congruente.
Avem un trapez ABCD isoscel,
se știe că AD este congruent cu BC
și trebuie să arătăm că diagonalele sunt congruente,
adică AC va fi egală cu BD.
Pentru a demonstra congruența acestor două segmente,
o să demonstrăm că triunghiurile DAB și CBA sunt triunghiuri congruente.
Să vedem ce elemente congruente au acestea.
În primul rând, DA este congruent cu BC.
Acest lucru se știe din ipoteză,
pentru că trapezul este isoscel.
Am văzut mai devreme că într-un trapez isoscel
unghiurile alăturate unei baze sunt congruente,
deci unghiul A este congruent cu unghiul B,
tot din ipoteză.
Aceste două triunghiuri mai au o latură comună,
aceasta este latura AB,
deci segmentul AB din triunghiul DAB este congruent cu segmentul AB din triunghiul CBA,
fiind o latură comună.
Din aceste trei relații va rezulta, conform cazului de congruență latură-unghi-latură,
că triunghiul DAB este congruent cu triunghiul CBA,
iar de aici va rezulta că PD este congruent cu AC.
Am demonstrat așadar că într-un trapez isoscel
diagonalele sunt congruente.
Este valabilă și reciprocă acestei teoreme.
Teorema numărul 4.
Dacă diagonalele unui trapez sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.