Transcript: Trapezul isoscel (Aplicație)

În figura de mai jos, ABCD este un trapez isoscel.
Se știe că DC este egal cu 5 centimetri și că măsura unghiului DAB este egală cu 45 de grade.
Fie DE perpendiculară pe AB. DE egal 3 centimetri.
Aflați măsurile unghiurilor trapezului și lungimea segmentului AB.
Vom scrie ipoteza și concluzia.
Se știe că DC este egal cu 5 centimetri. Voi scrie și pe figură.
Iar DE este 3 centimetri.
Trebuie să aflăm măsurile unghiurilor trapezului, adică măsura unghiului B, măsura unghiului C și măsura unghiului D
și apoi trebuie să aflăm lungimea segmentului AB.
Având în vedere că trapezul este isoscel, acesta va avea unghiurile alăturate unei baze congruente.
Deci unghiul B va avea aceeași măsură cu unghiul A, 45 de grade.
Vom scrie că unghiul A este congruent cu unghiul B.
Din ipoteză, înseamnă că măsura unghiului A va fi egală cu măsura unghiului B și egală cu 45 de grade.
În orice patrulater, suma măsurilor unghiurilor este de 360 de grade.
Deci ca să aflăm măsura unghiului D, respectiv măsura unghiului C,
din cele 360 de grade, o să scădem măsura unghiului A plus măsura unghiului B
și apoi împărțim rezultatul la 2, pentru că unghiul D este congruent cu unghiul C.
Se știe că măsura unghiului A plus măsura unghiului B plus măsura unghiului C și plus măsura unghiului D este egal cu 360 de grade.
Măsura unghiului A este 45 de grade plus 45 de grade plus măsura unghiului C plus măsura unghiului D egal cu 360 de grade.
45 plus 45 este 90 de grade plus măsura unghiului C plus măsura unghiului D egal cu 360 de grade.
Din această relație exprimăm măsura unghiului C plus măsura unghiului D,
scădem din ambii membri A egalității cele 90 de grade, obținem că măsura unghiului C plus măsura unghiului D este egală cu 360 de grade minus 90 de grade, adică 270 de grade.
Dar se știe că unghiul C este congruent cu unghiul D,
deci au aceeași măsură.
Măsura unghiului C este egală cu măsura unghiului D.
Din cele două relații putem să scriem următoarea relație.
Rezultă măsura unghiului C plus,
în loc de măsura unghiului D voi scrie tot măsura unghiului C pentru că aceste două măsuri sunt egale,
egal mai departe cu 270 de grade.
Doi ori măsura unghiului C egal cu 270 de grade, împărțim egalitatea la 2 și obținem că măsura unghiului C este egală cu 270 de grade împărțit la 2,
adică măsura unghiului C este egală cu 135 de grade și egal mai departe cu măsura unghiului D.
Deci am obținut că unghiurile C și D au aceeași măsură de 135 de grade,
iar unghiurile A și B au aceeași măsură de 45 de grade.
Acum trebuie să aflăm lungimea segmentului AB.
Pentru a afla lungimea segmentului AB vom face o construcție ajutătoare, vom duce perpendicularea din C pe latura AB.
Voi continua demonstrația mai jos.
Ducând CF perpendiculară pe AB se formează dreptunghiul DCFE.
Într-un dreptunghi știm că laturile opuse sunt congruente două câte două, deci lungimea segmentului F va fi egală cu 5 centimetri.
Și acum mai trebuie să aflăm lungimea segmentelor AE și FB.
Fie CF perpendiculară pe AB va rezulta că DCFE este un dreptunghi.
Am văzut acest lucru și în demonstrația teoremelor.
Rezultă că F va fi egal cu DC și egal cu 5 centimetri.
Acum vom afla lungimea segmentelor AE și FB.
Observăm că triunghiul DEA este un triunghi dreptunghic în care se știe măsura unghiului A de 45 de grade.
Putem să aflăm măsura unghiului ADE dacă scădem din 180 măsurile unghiurilor A și E.
Deci în triunghiul ADE se știe că măsura unghiului DEA este egală cu 90 de grade pentru că este un triunghi dreptunghic și măsura unghiului DAE este egală cu 45 de grade din ipoteză.
Va rezulta atunci că măsura unghiului ADE este egală cu 180 de grade minus 90 de grade minus 45 de grade egal cu 45 de grade.
Dacă acest triunghi are două unghiuri congruente, seamnă că este un triunghi soscel.
Având în vedere că baza este AD, va rezulta că DE va fi egală cu AE.
Deci AE va avea lungimea de 3 cm.
Rezultă că unghiul DAE este congruent cu unghiul ADE pentru că au aceeași măsură de 45 de grade.
Înseamnă că triunghiul ADE este un triunghi isoscel cu baza AD de unde rezultă că DE este egal cu AE și egal cu 3 cm.
Dacă DCFE este dreptunghi, înseamnă că CF va fi egală cu DE și egal cu 3 cm.
DCFE este dreptunghi, va rezulta că CF va fi egală cu DE și egal cu 3 cm.
În mod analog se arată că triunghiul CFB este un triunghi isoscel.
Înseamnă că CF va fi egală cu FB și egal cu 3 cm.
Acum putem să aflăm lungimea segmentului AB însumând cele trei segmente.
AB va fi egal cu AE plus F plus FB, egal cu 3 cm plus 5 cm plus 3 cm, egal cu 11 cm.