Transcript: Tranformarea produselor în sume

În unele execiții este mai convenabil să transformăm produsele de funcții trigonometrice în sume.
În acest clip ne propunem să găsim formulele pentru sinus de A ori cosinus de B, cosinus de A or cosinus de B și sinus de A or sinus de B.
Vom porni de la aceste două formule, sinusul sumei, respectiv sinusul diferenței.
Adunăm relațiile 1 și 2 și vom obține sinus de A plus B plus sinus de A minus B egal cu 2 sinus de A cosinus de B.
Deci sinus de A or cosinus de B va fi egal cu 1 supra 2 pe lângă sinus de A plus B plus sinus de A minus B.
Am găsit prima formulă de transformare a produsului într-o sumă.
Pentru a transforma în sumă produsul cos de A or cos de B pornim de la aceste două relații pe care le însumăm.
Adunând relațiile 1 și 2 obținem cosinus de A plus B plus cosinus de A minus B egal cu 2 cos de A cos de B.
Prin urmare cos de A or cos de B este egal cu 1 supra 2 pe lângă cosinus de A plus B plus cosinus de A minus B.
Dacă scădem relațiile 1 și 2 vom avea cos de A minus B minus cos de A plus B egal cu 2 sinus de A sinus de B.
Prin urmare sinus de A or sinus de B este egal cu 1 supra 2 pe lângă cosinus de A minus B minus cosinus de A plus B.
Acestea sunt cele trei formule de transformare a produselor în sume iar în continuare haideți să facem câteva exerciții.
Am rescris cele trei formule și în primul exercițiu haideți să transformăm în sumă următorul produs cosinus de 4 alfa or cosinus de 2 alfa.
Aplicăm a doua formulă și avem 1 pe 2 pe lângă cosinus de A plus B în acest caz A este 4 alfa iar B este 2 alfa.
Deci avem cosinus de 4 alfa plus 2 alfa plus cosinus de 4 alfa minus 2 alfa egal cu 1 pe 2 pe lângă cosinus de 6 alfa plus cosinus de 2 alfa.
Următorul exercițiu
Se cere să transformăm în sumă produsul sinus de 35 de grade or cosinus de 25 de grade.
Aplicăm formula sinus de A or cosinus de B și avem 1 pe 2 pe lângă sinus de 35 de grade plus 25 plus sinus de 35 de grade minus 25
Egal cu 1 pe 2 pe lângă sinus de 60 de grade plus sinus de 10 grade.
Egal cu 1 pe 2 pe lângă sin de 60 este radical din 3 pe 2 iar sinus de 10 grade rămâne așa.
Și egal cu radical din 3 supra 4 plus 1 pe 2 or sinus de 10 grade.
Și ultimul exercițiu
Se cere să scriem sub forma unei sume următorul produs 2 sinus de 50 de grade or cosinus de 50 de grade or sinus de 70 de grade.
Dacă ne uităm la primii 3 factori putem recunoaște o formulă.
Vă reamintesc formula pentru sinusul argumentului dublu.
Sinus de 2x este egal cu 2 sinus de x cosinus de x.
Așadar dacă ne uităm la primii 3 factori 2 sinus de 50 or cosinus de 50 va fi egal cu sinus de 2 or 50.
Prin urmare aici vom avea sinus de 100 de grade.
Deci avem sinus de 100 de grade or sinus de 70.
Și acum putem să aplicăm ultima formulă și vom avea 1 pe 2 pe lângă cosinus de 100 de grade minus 70 minus cosinus de 100 plus 70.
Egal cu 1 pe 2 pe lângă cosinus de 30 de grade minus cosinus de 170 de grade.
Egal cu 1 pe 2 pe lângă cos de 30 este radical din 3 pe 2 iar cosinus de 170 rămâne așa.
Și egal cu radical din 3 supra 4 minus 1 pe 2 or cosinus de 170 de grade.