Transcript: Teorema paralelelor echidistante.

Teorema paralelelor echidistante.
Dreptele paralele echidistante sunt acele drepte situate la distanțe egale.
Și avem următoarea teoremă.
Dacă trei sau mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente,
atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente.
Vom face o figură geometrică.
Vom considera patru drepte paralele D1, D2, D3 și D4.
Avem două secante A și B.
Aceste patru drepte intersectează secanta A în punctele A, B, C, D
și secanta B în punctele M, N, P, Q.
Presupunem că segmentele A, B, B, C și C, D sunt congruente
și ne propunem să arătăm că și segmentele M, N, N, P și P, Q sunt congruente.
Pentru aceasta vom face câteva construcții ajutătoare.
O să ducem prin punctele A, B și C drepte paralele cu secanta B.
Să anunțăm construcția făcută.
Fie AR paralela cu dreapta B,
BS paralela cu dreapta B și CT paralela cu dreapta B.
Având în vedere că aceste trei drepte sunt paralele cu dreapta B, ele vor fi paralele și între ele.
Rezultă AR paralela cu BS paralela cu CT.
Ne propunem pentru început să arătăm că aceste segmente sunt congruente AR, BS și CT.
Iar pentru a demonstra congruența acestora vom demonstra că triunghiurile ARB, BSC și CTD sunt congruente.
Dacă dreptele D1, D2, D3 și D4 sunt paralele, iar dreapta A este o secantă, se formează niște unghiuri corespondente congruente.
Unghiul ABR este congruent cu unghiul BCS și congruent cu unghiul CDT.
Acestea fiind unghiuri corespondente.
Unghiul ABR este congruent cu unghiul BCS și congruent cu unghiul CDT, fiind unghiuri corespondente.
Aceste trei triunghiuri au laturile AB, BC și CD congruente. Acest lucru se știe din ipoteză.
AB este congruent cu BC, congruent cu CD.
Iar dacă AR este paralela cu BS și cu CT, iar dreapta A este o secantă a acestora, se formează alte unghiuri corespondente congruente.
Unghiul RAB va fi congruent cu unghiul SBC și congruent cu unghiul TCD.
Unghiul RAB va fi congruent cu unghiul SBC și congruent cu unghiul TCD.
Acestea sunt unghiuri corespondente.
Observăm așadar că aceste triunghiuri sunt congruente conform cazului de congruență unghi-latură-unghi.
Triunghiul ARB va fi congruent cu triunghiul BSC și congruent cu triunghiul CTD.
Din această relație va rezulta că segmentele AR, BS și CT sunt congruente.
AR este congruent cu BS și cu CT.
Notăm această relație cu 1.
Acum să ne uităm puțin la patrulaterul MNRA.
Acest patrulater este un paralelogram pentru că are laturile paralele două câte două.
MA este paralelă cu NR din ipoteză, pentru că D1 este paralelă cu D2.
Iar MN este paralelă cu AR din construcția făcută.
Așadar MNRA este un paralelogram.
Paralelogramul are laturile opuse congruente.
Înseamnă că AR va fi congruentă cu MN.
Apoi patrulaterul NPSB va fi și acesta un paralelogram.
Înseamnă că BS va fi congruent cu NP.
Iar PQTC este paralelogram.
Deci CT va fi congruent cu PQ.
Dar noi am arătat că AR este congruent cu BS și cu CT.
Și atunci va rezulta că și segmentele MN, NP și PQ vor fi congruente.
Să scriem cele discutate până acum.
MNRA este paralelogram
de unde rezultă că MN este congruent cu AR.
Apoi NPSB este tot un paralelogram.
Rezultă că NP este congruent cu BS.
Și PQTC este paralelogram.
Rezultă că PQ este congruent cu CT.
Notăm toate aceste relații cu 2.
Și din relațiile 1 și 2 va rezulta că MN este congruent cu NP și cu PQ.
MN congruent cu NP și congruent cu PQ.
Am demonstrat așadar teorema paralelelor echidistante.
Dacă 3 sau mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente,
atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente.