Transcript: Teorema medianei

În acest clip o să discutăm despre teorema medianei. Aceasta ne permite să calculăm lungimea medianei într-un triungh oarecare atunci când se cunosc lungimile laturilor acestuia.
Avem triunghiul oarecare ABC și am notat laturile acestuia cu a mic, b mic, respectiv c mic.
Vom nota cu m-a lungimea medianei corespunzătoare laturii a mic, cu m-b notăm mediana corespunzătoare laturii b mic și cu m-c mediana corespunzătoare laturii c.
Au loc următoarele relații m-a la pătrat este egal cu 2 pe lângă b pătrat plus c pătrat minus a pătrat supra 4, m-b la pătrat este egal cu 2 pe lângă a pătrat plus c pătrat minus b pătrat supra 4,
iar mediana corespunzătoare laturii c la pătrat va fi egală cu 2 pe lângă a pătrat plus b pătrat minus c pătrat supra 4.
Vom demonstra prima relație, celelalte două demonstrându-se analog.
Dacă a-m este mediană, atunci are loc următoarea relație vectorială, a-m este semisuma vectorilor a-b și a-c.
Acest lucru se poate demonstra foarte ușor, dacă prelungim mediana a-m cu un alt segment având aceeași lungime cu a-m, atunci se obține un paralelogram.
Diagonala acestui paralelogram este suma vectorilor a-b și a-c, prin urmare a-m va fi jumătate din a-b plus a-c.
Din această relație rezultă că 2a-m este egal cu a-b plus a-c.
Ridicăm la pătrat această egalitate și obținem 4a-m la pătrat egal cu a-b plus a-c la pătrat, egal în continuare cu a-b la pătrat plus 2a-b ori a-c plus a-c la pătrat.
Mediana a-m s-a notat cu m-a, prin urmare 4 ori m-a la pătrat va fi egal în loc de a-b, putem scrie c mic, în loc de a-c avem b mic plus 2 ori produsul scalar a-b ori a-c este egal cu modul de a-b ori modul de a-c ori cosinusul unghiului dintre cei doi vectori.
Prin urmare aici voi scrie c ori b ori cosinus de a.
În continuare aplicăm teorema cosinusului.
Cosinus de a este egal cu b pătrat plus c pătrat minus a pătrat supra 2bc.
Și atunci din aceste două relații obținem următoarea formulă 4m-a pătrat egal cu c pătrat plus b pătrat plus 2bc iar în loc de cosinus de a voi scrie relația de mai jos b pătrat plus c pătrat minus a pătrat supra 2bc.
Se simplifică 2bc și avem 4m-a pătrat egal b pătrat cu b pătrat este 2b pătrat apoi urmează 2c pătrat minus a pătrat.
4m-a pătrat va fi egal cu 2 pe lângă b pătrat plus c pătrat minus a pătrat.
Iar de aici exprimând m-a la pătrat se obține 2 pe lângă b pătrat plus c pătrat minus a pătrat supra 4.
Am demonstrat prima formulă din teorema medianei, celelalte formule se demonstrează în mod asemănător.
În continuare haideți să facem un exercițiu.
Se dă triunghiul ABC unde AB are lungimea egală cu 7 unități, AC are lungimea egală cu 3 unități, BC este egal cu 5 unități, CM este mediană și se cere să calculăm lungimea segmentului CM.
Aplicăm teorema medianei.
9 plus 5 la a doua minus 7 la a doua totul supra 4 egal cu 2 ori, 9 plus 25 este 34 minus 49 totul supra 4 egal, 2 ori 34 este 68 minus 49 este egal cu 19 supra 4.
Prin urmare CM va fi egal cu radical din 19 supra 2.