Transcript: Teorema lui Pitagora (aplicații)

În această lecție vom face câteva aplicații la teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora ne spune că, într-un triungh dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
În acest triungh dreptunghic, catetele sunt A și B, iar ipotenuza este latura C.
Atunci, conform teoreme lui Pitagora, avem următoarea relație
A la a doua plus B la a doua egal cu C la a doua.
Astfel, teorema lui Pitagora ne ajută să calculăm lungimea ipotenuzei atunci când se cunosc catetele unui triungh dreptunghic.
Însă, din această relație putem să exprimăm oricare dintre catete în funcție de ipotenuză și cealaltă catetă.
Astfel, A la a doua va fi egal cu C la a doua minus B la a doua,
iar B la a doua va fi egal cu C la a doua minus A la a doua.
Rețineți aceste trei formule pentru că le vom aplica în exercițiile următoare.
Începem cu câteva exemple mai simple.
Avem un triungh dreptunghic, având catetele cu lungimile de 3 și 4 centimetri.
Trebuie să aflăm ipotenuza pe care am notat-o cu X.
Din teorema lui Pitagora obținem următoarea relație.
A la a doua plus B la a doua egal cu X la a doua.
3 la a doua este 9, 4 la a doua este 16, egal cu X la a doua.
9 plus 16 este 25, egal cu X pătrat.
X va fi egal cu radical din 25.
X va fi egal cu 5.
Am aflat lungimea ipotenuzei. Aceasta este egală cu 5.
Numerele 3, 4 și 5 formează un triplet.
Astfel de triplete se vor numi triplete pitagoreice.
Iar tripletul 3, 4, 5 este unul dintre cele mai des întâlnite.
Există o infinitate de astfel de triplete.
Un alt exemplu.
Avem următorul triungh dreptunghic.
Catetele sunt egale cu 2 centimetri și trebuie să aflăm ipotenuza X.
Vom aplica din nou teorema lui Pitagora.
2 la a doua plus 2 la a doua egal cu X la a doua.
4 plus 4 egal cu X la pătrat.
8 egal cu X la pătrat.
X va fi egal cu radical din 8.
Putem să descompunem numărul 8.
Iar după ce scoatem factorii de sub radical vom obține 2 radical din 2.
Și un alt treile exemplu.
Se cunoaște o catetă având lungimea egală cu 6 centimetri și ipotenuza egală cu 10 centimetri.
Aflăm lungimea celelalte catete.
Aplicăm din nou teorema lui Pitagora.
X la a doua plus 6 la a doua.
Atenție, întotdeauna se adună catetele.
Egal cu 10 la a doua.
Sau am fi putut scrie o altă relație.
X la pătrat este egal cu diferența dintre 10 la pătrat și 6 la pătrat.
Oricare din cele două relații este corectă pentru că se ajunge la același rezultat.
X la a doua plus 36 egal cu 100.
X la a doua este egal cu 100 minus 36.
X la a doua este egal cu 64.
X va fi egal cu radical din 64.
X va fi egal cu 8.
Continuăm cu o problemă.
Se dă un triunc dreptunghic ABC cu măsura unghiului A egală cu 90 de grade.
Am dus înălțimea AD perpendiculară pe BC.
Se știe că AB este egal cu 15 centimetri.
AD egal cu 12 centimetri.
Și trebuie să aflăm lungimea segmentelor BD, BC, DC și AC.
Voi scrie și pe figură AB egal cu 15 și AD egal cu 12.
Pentru a afla lungimea segmentului BD vom aplica teorema lui Pitagora în triunghiul ADB
deoarece acesta este un triunc dreptunghic.
AD fiind perpendiculară pe BC rezultă că măsura unghiului ADB este egală cu 90 de grade.
Și atunci va rezulta, conform teoremelui Pitagora, că AD la pătrat plus BD la pătrat este egal cu AB la pătrat.
12 la a doua plus BD la a doua este egal cu 15 la a doua.
12 la a doua este 144 plus BD la a doua egal cu 225.
BD la a doua este egal cu 225 minus 144.
BD la a doua este egal cu 81.
De aici rezultă că BD este egal cu radical din 81 și egal cu 9 centimetri.
Am obținut BD egal cu 9 centimetri.
Acum trebuie să aflăm lungimea segmentului BC.
Pentru aceasta putem să aplicăm teorema catetei în triunghiul ABC.
Din teorema catetei în triunghiul ABC va rezulta că AB la a doua este egal cu BD ori BC.
AB este 15.
15 la a doua este egal cu 9 ori BC.
15 la a doua este 225 egal cu 9 ori BC.
Împărțim egalitatea la 9 și obținem că BC este egal cu 225 împărțit la 9.
Va rezulta că BC este egal cu 25 centimetri.
Pentru a afla lungimea segmentului DC vom face diferența dintre segmentele BC și BD.
DC este egal cu BC minus BD egal cu 25 minus 9 egal cu 16 centimetri.
Am aflat lungimea segmentului DC.
Mai trebuie să aflăm lungimea segmentului AC.
AC se poate afla fie aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul ABC, unde se cunoaște cateta AB și ipotenuza BC,
fie aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul ADC.
În acest triunghi se cunosc cele două catete, iar AC este ipotenuză.
Voi aplica teorema lui Pitagora în triunghiul ADC și acesta este un unghi drept, așadar triunghiul este dreptunghic.
În triunghiul ADC, măsura unghiului ADC este egală cu 90 de grade
și atunci va rezulta, conform teorema lui Pitagora, că AD la pătrat plus DC la pătrat egal cu AC la pătrat.
AD este 12, iar DC este 16. Trebuie să aflăm latura AC.
12 la a doua plus 16 la a doua va fi egal cu AC la a doua.
144 plus 16 la a doua este 256.
Cu timpul veți învăța și voi pe de rost pătratele perfecte. Până atunci puteți să faceți calculele alăturat.
Egal cu AC la pătrat.
144 plus 256 este egal cu 400.
AC la pătrat egal cu 400.
AC va fi egal cu radical din 400.
Rezultă AC egal cu 20 centimetri.
Am aflat astfel și lungimea laturii AC. Aceasta este egală cu 20 centimetri.
Continuăm cu o altă problemă.
Problema numărul 2. Aflați lungimea laturii unui triunghi echilateral, având înălțimea egală cu 6 radical din 3.
Avem triunghiul ABC echilateral. AD este înălțimea.
Iar lungimea acestea este egală cu 6 radical din 3 centimetri.
Trebuie să aflăm latura triunghiului.
Voi nota latura triunghiului cu litera A.
Dacă AD este înălțime, înseamnă că AD este și mediană.
Deoarece, într-un triunghi echilateral, înălțimea coincide cu mediana.
Așadar, punctul D va fi situat la mijlocul laturii BC.
Știm că, într-un triunghi echilateral, toate laturile sunt congruente.
Dacă BC are lungimea egală cu A, înseamnă că DC va fi A supra 2, adică jumătate din lungimea laturii.
Vom aplica teorema Lipitangora în triunghiul ADC.
În triunghiul ADC, măsura unghiului ADC este egală cu 90 de grade.
Și atunci va rezulta, conform teoreme Lipitangora,
că AD la a doua plus DC la a doua este egal cu AC la a doua.
AD este 6 radical din 3 plus DC este A supra 2, totul la a doua, egal cu A la a doua.
6 ori 6 este 36, iar radical din 3 la a doua este 3 plus AC la a doua supra 4, egal cu AC la a doua.
36 ori 3 este 108 plus AC la a doua supra 4, egal cu AC la a doua.
Trebuie să separăm termenii care conține cunoscuta A de celălalt termen, de numărul 108.
Ca să rămână în membrul stâng termenul 108, trebuie să scădem termenul care conține AC la a doua supra 4 din ambii membri.
Obținem astfel că 108 va fi egal cu AC la a doua minus AC la a doua supra 4.
Pentru a putea efectua această scădere, trebuie să aducem fracțiile la numitor comun.
Amplificăm prima fracție cu 4.
108 egal cu 4 AC la a doua supra 4 minus AC la a doua supra 4.
108 egal cu 4 AC la a doua minus AC la a doua este 3 AC la a doua supra 4.
Putem considera că avem aici o proporție și vom înmulți pe diagonală.
Obținem că 3A pătrat este egal cu 4 ori 108.
3A pătrat egal cu 432.
Ca să-l aflăm pe A la a doua împărțim relația la 3.
A la a doua egal cu 432 împărțit la 3.
A la a doua este egal cu 144.
A va fi egal cu radical din 144.
A este egal cu 12.
Am aflat astfel latura triunghiului echilateral. Aceasta este egală cu 12.