Transcript: Teorema lui Menelaus (teorie)

Menelaus a fost un matematician grec, iar teorema ce poartă numele este un instrument util în studiul colinearității a trei puncte.
Pentru a demonstra colinearitatea a trei puncte se folosește reciproc a teoremei lui Menelaus, iar pentru aceasta vom prezenta mai întâi teorema.
Iată inunțul acesteia. Fie triunghiul ABC și punctele PQR coliniare, P este situat pe latura AB, Q este situat pe latura AC și R este situat pe latura BC.
Atunci are loc această relație AP supra PB ori BR supra RC ori CQ supra QA este egal cu 1.
Deci pornim dintr-un vârf al triunghiului, de exemplu din vârful A și avem AP supra PB ori BR supra RC ori CQ supra QA egal cu 1.
Trebuie să ajungem în același punct din care am plecat, fără să ridicăm creionul de pe hârtie și fără să trecem de două ori prin același segment.
Și acum să vedem cum putem să reținem mai ușor această relație.
Avem un produs de 3 rapoarte, iar acest produs este egal cu 1.
Fiecare raport începe cu unul din cele 3 vârfuri ale triunghiului, deci avem A, B, C.
Primul raport se termină cu litera cu care începe următorul raport, deci aici pe diagonala aceasta copiem B.
Al doilea raport se termină cu litera cu care începe următorul raport, deci pe această diagonală copiem C.
Ultimul raport se termină cu litera cu care începe primul raport, deci avem A.
Acum ne uităm pe figurăm.
Pe latura AB avem punctul P, îl copiem și la numărător și la numitor.
Pe latura BC avem punctul R, îl scriem și sus și jos, iar pe latura CA avem punctul Q, pe care îl scriem și la numărător și la numitor.
Aceasta este o metodă destul de rapidă de a reține mai ușor relația din teorema lui Menelaus.
Și acum să vedem cum demonstrăm această teoremă.
Vom folosi triunghiurile asemenea, iar pentru aceasta vom duce prin C o paralelă la AB, care intersectează dreapta pe R într-un punct pe care l-am notat cu X.
Așadar CX este paralelă cu AB.
Se formează două triunghiuri asemenea. Triunghiul RBP este asemenea cu triunghiul RCX.
Haideți să le evidențiem mai clar. Iată triunghiul RBP și triunghiul RCX.
Acestea sunt triunghiuri asemenea. Triunghiul RBP este asemenea cu triunghiul RCX.
Și avem următoarea relație de proporționalitate între laturile acestora.
RB supra RC este egal cu BP supra CX.
Mai avem o pereche de triunghiuri asemenea. Triunghiul QCX cu triunghiul QAP.
Acestea sunt unghiuri congruente pentru că sunt unghiuri opuse la vârf, iar unghiul APQ este congruent cu unghiul CXQ, fiind unghiuri alterne interne.
O să notez cu unul aceste unghiuri. Așadar avem aceste două triunghiuri asemenea.
Triunghiul QCX este asemenea cu triunghiul QAP.
Și acum să vedem cum scriem rapoartele. Ne uităm în primul triunghi.
Latura opusă unghiului 1 este CQ, iar în al doilea triunghi, latura opusă unghiului 1 este AQ.
Egal.
În primul triunghi, latura opusă unghiului Q este CX, iar în al doilea triunghi, latura opusă unghiului Q este AP.
Acum înmulțim aceste două relații membru cu membru.
Din 1 și 2, prin înmulțire, obținem că RB supra RC ori CQ supra AQ este egal cu BP supra CX ori CX supra AP.
Aici se simplifică CX și obținem RB supra RC ori CQ supra AQ egal cu BP supra AP.
Înmulțim toată egalitatea cu AP supra BP și obținem RB supra RC ori CQ supra AQ ori AP supra BP este egal cu 1.
Iar aceasta este chiar relația din teorema lui Menelaus, așadar am demonstrat această teoremă.
Dreapta PQR se mai numește transversală, deci o transversală este o dreaptă care intersectează cele trei laturi ale triunghiului, dar care nu trece prin vârfurile acestuia.
Când aplicăm teorema lui Menelaus în rezolvarea problemelor, este bine să indicăm triunghiul pentru care se aplică teorema și transversala acestuia.
Să vedem în continuare reciproca teoremei lui Menelaus, care se folosește în demonstrarea colinearității a trei puncte.
Fie triunghiul ABC și punctele P situat pe latura AB, Q situat pe latura AC și R situat pe latura BC, astfel încât toate trei să fie situate pe prelungirile laturilor triunghiului sau numai unul pe prelungirea unei laturi.
Dacă are loc relația AP supra PB ori BR supra RC ori CQ supra QA egal cu 1, atunci punctele PQ și R sunt coliniare.
În secvența următoare o să facem o aplicație.