Transcript: Teorema lui Menelaus (aplicații)

Avem următoarea problemă, fie triunghiul ABC, M, un punct situat pe latura BC, astfel încât MC supra BC egal cu 1 pe 3, și N, situat pe latura AB, astfel încât AN supra AB egal cu 1 pe 2, fie pe mijlocul segmentului CN.
Arătați că punctele A, P și M sunt coliniare.
Pentru a demonstra coliniaritatea acestor puncte, folosim reciproca teoreme lui Menelaus.
Din moment ce trebuie să demonstrăm că punctele A, P și M sunt coliniare, înseamnă că dreapta A, P, M va fi transversală a unui triunghi.
Observăm că punctul M este situat pe latura BC, deci una dintre laturile triunghiului este BC, P este situat pe segmentul NC, deci a doua latura triunghiului este NC, iar A este situat pe dreapta BN, așadar avem triunghiul BNC.
Evidențiem așadar triunghiul BNC cu transversala A, P, M.
Aplicăm reciproca teoremei lui Menelaus pentru triunghiul BNC cu transversala A, P, M.
Avem un produs de trei rapoarte, egal cu unul.
Fiecare raport începe cu unul din cele trei vârfuli ale triunghiului, avem B, N, C.
Primul raport se termină cu litera cu care începe următorul, deci aici copiez N, aici copiez C, iar la final avem B.
Întotdeauna la final trecem aceeași literă cu care am început.
Pe dreapta BN avem punctul A, pe dreapta NC avem punctul P, și pe dreapta CB avem punctul M.
Să ne uităm și pe desen.
BA, deci atenție când punctul este situat pe prelungirea laturii triunghiului, se ia tot segmentul acesta BA supra AN, ori NP supra PC, ori CM supra MB, egal cu unul.
Trebuie așadar să verificăm dacă produsul acestor trei rapoarte este egal cu unul.
Noi știm din ipoteză că AN supra AB este 1 pe 2,
AN supra AB este 1 pe 2,
și atunci AB supra AN, deci inversăm rapoartele, va fi egal cu 2.
Am calculat așadar primul raport.
Și acum să vedem al doilea raport, NP supra PC.
Din moment ce punctul P este mijlocul segmentului CN, înseamnă că NP supra PC este egal cu 1,
pentru că punctul P este mijlocul segmentului CN.
Și mai trebuie să calculăm raportul CM supra MB.
Noi avem MC supra BC egal cu 1 pe 3.
Să scriem și acest lucru.
MC supra BC este egal cu 1 pe 3.
Noi trebuie să calculăm CM supra MB.
Numărătorul este același, MC, însă numitorii sunt diferiți.
Aici avem MB iar aici avem BC.
Prin urmare trebuie să facem o operație astfel încât la numitorul acestei fracții să ne apară MB.
Dar MB este egal cu BC minus MC.
Prin urmare va trebui să scădem numărătorul din numitor.
Și facem acest lucru cu ambele rapoarte.
Avem așadar MC supra BC minus MC egal cu 1 supra 3 minus 1.
MC supra BC minus MC este egal cu BM egal cu 1 pe 2.
Am calculat așadar și acest raport.
Deci BA supra AN este egal cu 2.
NP supra PC este egal cu 1.
Și CM supra MB este egal cu 1 pe 2.
Prin urmare dacă înmulțim toate aceste 3 rapoarte obținem că BA supra AN ori NP supra PC
ori CM supra MB este egal cu 2 ori 1 ori 1 pe 2 și egal cu 1.
Prin urmare am arătat că produsul acestor rapoarte este egal cu 1 așadar punctele AP și M sunt coliniare.