Transcript: Teorema lui Ceva (teorie)

Giovanni Ceva a fost un matematician italian, iar reciproca teoremei ce poartă numele este un instrument util în studiul concurenței unor drepte.
Să vedem mai întâi enunțul teoremei lui Ceva, fie un triunghi ABC și punctele PQR, P situat pe latura BC, Q situat pe latura AC și R situat pe latura AB.
Dacă dreptele AP, BQ și CR sunt concurente, atunci are loc următoarea relație AR supra RB ori BP supra PC ori CQ supra QA este egal cu 1.
O dreaptă care trece prin vârful unui triunghi se numește ceviană, așadar dreptele AP, BQ și CR se numesc ceviene.
Pentru a demonstra această teoremă o să aplicăm teorema lui Menelaus.
Mai întâi aplicăm teorema lui Menelaus în triunghiul ABP cu transversala RMC.
Haideți să evidențiem mai clar acest triunghi.
Așadar triunghiul ABP cu transversala RMC și vom avea AR supra RB ori BC supra CP ori PM supra MA egal cu 1.
Deci AR supra RB ori BC supra CP ori PM supra MA egal cu 1.
Notăm această relație cu 1.
În continuare aplicăm teorema lui Menelaus în alt triunghi, mai exact în triunghiul APC cu transversala BMQ.
Și o să avem AM supra MP ori PB supra BC ori CQ supra QA egal cu 1.
Și o să avem AM supra MP ori PB supra BC ori CQ supra QA egal cu 1.
Notăm cu 2 această relație.
Și acum înmulțim relațiile 1 și 2 membru cu membru.
Din relațiile 1 și 2 o să avem AR supra RB ori BC supra CP ori PM supra MA ori AM supra MP ori PB supra BC ori CQ supra QA
egal cu 1.
Se simplifică MA cu AM, PM cu MP și BC cu BC.
Și acum să vedem ce ne-a rămas.
Avem AR supra RB ori PB supra CP ori CQ supra QA egal cu 1.
Iar aceasta este chiar relația din teorema lui Ceva.
Așadar am demonstrat această teoremă.
Iar în continuare să vedem reciproca teoremei lui Ceva.
Fie un triunghi ABC și punctele PQR astfel încât P să fie situat pe latura BC, Q să fie situat pe latura AC și R situat pe latura AB.
Dacă are loc relația AR supra RB ori BP supra PC ori CQ supra QA egal cu 1, atunci ce vienele AP, BQ și CR sunt concurente.
Folosind reciproca teoremei lui Ceva se poate demonstra concurența unor linii importante în triunghi,
iar în secvența următoare o să demonstrăm concurența medianelor.