Transcript: Teorema lui Ceva (aplicații)

În această secvență vom face o aplicație la reciproca teoremei lui Ceva.
Vom demonstra concurența medianelor unui triunghi.
Avem așadar triunghiul ABC și am dus medianele AD, BE și CF.
Pentru cei care nu știu, o mediană într-un triunghi este un segment care unește un vârf al triunghiului cu mijloculaturi opuse.
Așadar punctele DE și F sunt mijloacele laturilor triunghiului.
Pentru a demonstra concurența acestor mediane, trebuie să arătăm care loc relația din reciproca teoremei lui Ceva.
Mai exact trebuie să arătăm că AF supra FB ori BD supra DC ori CE supra EA este egal cu 1.
Dacă punctul F este mijlocul segmentului AB, înseamnă că segmentele AF și FB au aceiași lungime.
Prin urmare, raportul AF supra FB este egal cu 1.
F este mijlocul segmentului AB.
Prin urmare, AF supra FB este egal cu 1.
În mod analog, dacă punctul D este mijlocul segmentului BC, atunci raportul BD supra DC este egal cu 1.
Iar dacă E este mijlocul segmentului AC, atunci raportul CE supra EA este egal cu 1.
Așadar, dacă mulțim aceste trei rapoarte, AF supra FB ori BD supra DC ori CE supra EA, rezultatul produsului va fi 1.
Prin urmare, are loc reciproca teoremei lui Ceva.
Așadar, medianele AD, BE și CF sunt concurente.
Punctul de intersecție al medianelor se numește centrul de greutate al triunghiului.