Transcript: Teorema înălțimii- aplicații

Rezolvăm în continuare o problemă în care o să aplicăm cele două teoreme pe care le-am învățat mai devreme.
Triunhul dreptunghic ABC are ipotenuza BC egală cu 20 cm, iar raportul dintre lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză este 4.
Calculați lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei, iar la punctul B, dacă AB este 8 radical din 5, calculați lungimea catetei AC.
Observăm că triunhul ABC este dreptunghic în A, iar înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este AD, unde AD este perpendiculară pe BC.
Proiecția catetei AB pe ipotenuză este BD, iar proiecția catetei AC pe ipotenuză este DC.
Pentru a redacta mai simplu rezolvarea acestei probleme, o să notăm lungimea segmentului BD cu X și lungimea segmentului DC cu Y.
Ni se dă în problemă că raportul proiecțiilor catetelor este 4. Prin urmare, avem următoarea relație X supra Y este egal cu 4.
BC are 20 centimetri și observăm că BC este egal cu X plus Y.
Deci putem să scriem și această relație între X și Y. O să scriu aici X plus Y este egal cu 20.
Avem două relații cu două necunoscute. Pentru a calcula lungimea înălțimii AD, mai întâi trebuie să calculăm valoarea lui X și Y.
Din prima proporție o să-l exprimăm pe X, înmulțim pe diagonală. X va fi egal cu 4Y.
Și acum înlocuim pe X în a doua egalitate. Astfel din cele două relații obținem că 4Y plus Y este egal cu 20.
5Y este egal cu 20. Avem astfel o ecuație cu necunoscuta Y. Împărțim ecuația la 5. Y va fi egal cu 4.
Lungimea segmentului DC este 4 cm. Acum să aflăm și lungimea segmentului BD.
Dacă X este egal cu 4Y, va rezulta că X este egal cu 4 ori 4 și egal cu 16 cm.
Deci BD are lungimea egală cu 16 cm. Am arătat că DC este egal cu 4 cm și BD este egal cu 16 cm.
Acum putem să calculăm lungimea înălțimii AD folosind prima teoremă pe care am văzut-o mai devreme.
AD la pătrat este egal cu BD ori DC.
AD la pătrat este egal cu 16 ori 4.
AD la pătrat este egal cu 64.
De unde rezultă că AD este egal cu radical din 64 și egal cu 8 cm.
Am terminat cu punctul A. Trecem la punctul B.
Dacă AB este 8 radical din 5, calculați lungimea catetei AC.
Pentru aceasta o să folosim a doua teoremă pe care am demonstrat-o mai devreme,
și anume AD este egal cu raportul dintre produsul catetelor și ipotenuză AB ori AC supra BC.
Înlocuim în această relație segmentele cunoscute.
AD este egal cu 8.
AB este 8 radical din 5.
Ori AC supra 20.
Din această egalitate trebuie să-l aflăm pe AC.
Avem astfel o proporție. O să-l mulțim pe diagonală.
Și obținem că 8 ori 20 este egal cu 8 radical din 5 ori AC.
Observăm că factorul 8 apare și în membrul stâng și în membrul drept.
Deci putem să împărțim egalitatea la 8.
Și obținem că 20 este egal cu radical din 5 ori AC.
Împărțim la radical din 5.
AC va fi egal cu 20 supra radical din 5.
Putem să raționalizăm.
AC va fi egal cu 20 radical din 5 supra 5.
Se simplifică 20 cu 5 și ne rămâne 4.
Prin urmare, AC va fi egal cu 4 radical din 5 centimetri.