Transcript: Teorema împărțirii cu rest

În continuare vom efectua câteva aplicații ale teoremei împărțirii cu rest.
Ce ne spune teorema împărțirii cu rest?
Ne spune că ori de câte ori împărțim două numere naturale, adică avem de împărțitul împărțit la împărțitor,
vom obține alte două numere naturale unice care reprezintă de fapt câtul și restul.
Ei bine, teorema împărțirii cu rest ne spune că de împărțitul este egal cu produsul dintre împărțitor și cât adunat cu restul
și restul este un număr natural mai mare sau egal cu zero și întotdeauna strict mai mic decât împărțitorul.
Bun, ne-am amintit și teorema împărțirii cu rest și acum haideți să trecem la treabă.
Vrem să determinăm numărul natural care împărțit la 8 dă câtul 10 și restul 7.
Păi haideți să notăm acest număr natural pe care îl căutăm cu N.
Bun, noi știm că N împărțit la 8 dă câtul 10 și restul 7.
Cum am spus și înainte, avem aici de împărțitul, 8 este împărțitorul, 10 este câtul iar restul este 7.
Pardon, haideți să scriem aici rest.
Ce facem acum? Teorema împărțirii cu rest ne spune că de împărțitul e egal cu produsul dintre împărțitor și cât adunat cu restul.
Deci plus rest.
Același lucru vom face și noi aici.
Avem că de împărțitul, adică N, se poate scrie ca fiind împărțitorul ori câtul, deci 8 ori 10 adunat cu restul.
Păi e clar că putem să îl determinăm pe N și avem că N este 8 ori 10 adică 80 plus 7, N este egal cu 87.
Dacă vrem să facem și verificarea, haideți să notăm aici VF de la verificare, vrem să vedem dacă într-adevăr numărul 87 împărțit la 8 ne dă într-adevăr câtul 10 și restul 7.
Păi 8 intră în 8 o singură dată, 1 ori 8, 8, facem scăderea, coborâm pe 7.
Acum, în acest moment nu putem spune că 7 este restul împărțirii pentru că trebuie să vedem de câte ori se cuprinde 8 în 7 și el se cuprinde de 0 ori.
0 ori 8 ne dă 0.
Acum scădem 7 minus 0, 7.
Mai avem ce cifră să coborâm de la de împărțit?
Nu.
Ei bine, în acest moment putem spune că într-adevăr am obținut restul 7 și câtul 10.
Cu alte cuvinte, numărul căutat este 87.
Să aflăm toate numerele naturale care împărțite la 4 dau câtul 9.
De ce credeți că ne apare în enunț cuvântul toate?
Pentru că e posibil să fie mai multe numere naturale care împărțite la 4 dau câtul 9.
De aceea, haideți să alegem unul din aceste numere și să-l notăm cu N.
Cu alte cuvinte, vrem să-l găsim pe N, care împărțit la 4, deci notăm, dă câtul 9.
Bun, și cât este restul?
Pentru că, iată, în enunț nu se spune nici că este o împărțire exactă, însă nu știm nici restul împărțirii.
Asta înseamnă că restul trebuie să-l determinăm noi.
Deci, haideți să notăm așa rest R.
Ce știm noi conform teoremei împărțirii cu rest?
Păi știm că de împărțitul este egal cu produsul dintre împărțitor și cât.
Deci avem 4 ori 9 adunat cu restul, pe care, iată, nu-l cunoaștem.
Ce observăm?
De ce avem nevoie ca să-l determinăm pe N?
Păi ne trebuie valoarea restului.
Știm noi ceva despre rest?
Sigur, știm că restul este un număr natural mai mare sau egal cu 0 și este strict mai mic decât împărțitorul, adică decât 4.
Păi care sunt numerele naturale mai mari sau egale cu 0 și strict mai mici ca 4?
E ușor să le determinăm.
Deci, haideți să notăm că R ia valorile 0, 1, 2 și 3.
Deci, R poate să fie fie 0, fie 1, fie 2, fie 3.
Și acum trebuie să luăm fiecare situație în parte.
Câte valori vom obține pentru N?
4 valori diferite pentru că, iată, avem 4 valori distincte pentru R.
Să notăm.
Dacă R este egal cu 0, adică prima situație, ce vom obține?
Rezultă că N ne va da 4 × 9, adică 36, adunat cu restul care este 0.
Deja l-am trecut aici, adică 36.
Dacă însă restul este egal cu 1, vom obține că N ne da 36 plus 1, iată la aici, adică 37.
Dacă restul însă este 2, avem că N este egal cu 36 adunat cu 2.
Haideți să ștergem aici ca să se vadă, să-l așezăm în același loc.
Deci adunat cu 2 și avem că este egal cu 38.
Și în final, dacă restul este egal cu 3, rezultă că N ne da 36 plus 3, adică 39.
Cu alte cuvinte, numerele care împărțite la 4 și dau câtul nouă sunt 36, 37, 38 și 39.
Le voi scrie aici, 36, 37, 38 și 39.
Suma a două numere naturale este 62.
Să determinăm numerele știind că prin împărțirea numărului mare la cel mic se obține câtul 5 și restul 2.
Câte numere avem de determinat?
Trebuie să determinăm două numere naturale a căror sumă este 62.
Atunci, haideți să notăm că a plus b, a și b fiind numerele căutate, suma lor este 62.
Ce mai știm?
Că dacă împărțim numărul mare la cel mic, păi asta înseamnă că trebuie să facem o alegere.
Haideți să considerăm că a este strict mai mare decât b.
Putem să facem și invers, b strict mai mare decât a, nu are importanță.
Știm că dacă îl împărțim pe a la b, a împărțit la b ne dă câtul 5 și restul este 2.
Ce știm conform teoremei împărțirii cu rest?
Cum putem scrie această relație?
De împărțitul, adică a, este egal cu produsul dintre împărțitor și cât, deci avem b ori 5 plus restul care este 2.
Ce facem acum?
Pe bază a acestor două relații trebuie să îl determinăm și pe a și pe b.
Putem să îl exprimăm pe a în funcție de b?
Sigur, deja este exprimat.
Iată că a este egal cu b ori 5 plus 2.
Această expresie o vom trece de fapt în locul lui a.
Deci pe a din prima relație îl înlocuim cu ce avem aici, pentru că b ori 5 plus 2 este egal de fapt cu a.
Și vom avea așa, b înmulțit cu 5 plus 2, l-am trecut pe a, plus b este egal cu 62.
Cu alte cuvinte, ce am obținut?
O ecuație cu necunoscuta b.
Haideți să îl determinăm pe b.
Câți de b avem?
Aici avem b ori 5, adică 5 de b cu un b înseamnă că avem 6 de b.
Deci 6 înmulțit cu b plus 2, că acest termen ne-a rămas, este egal cu 62.
Ce facem în continuare?
Trebuie să determinăm mai întâi cât este 6 ori b.
Pentru aceasta, din relație, scădem pe 2.
Sau, altfel spus, trecem pe 2 peste egal cu semn schimbat.
Deci vom avea așa, 6 ori b este egal cu 62 minus 2.
6 ori b ne dă 60.
b este egal cu 60 împărțit la 6, adică b ne dă 10.
Și iată că l-am determinat pe b.
Cum îl găsim pe a?
Îl înlocuim pe b în prima relație sau în cea de-a doua?
Oricare variantă este corectă.
Dacă folosim a doua relație, avem că a este 10 înmulțit cu 5 plus 2.
Facem calcul și obținem 50 plus 2, adică 52.
Cu alte cuvinte, am obținut că numărul b este egal cu 10,
iar numărul a este egal cu 52.
Evident că suma a plus b ne dă 62.
Și dacă facem 52 împărțit la 10, vom obține 5 rest 2.