Transcript: Teorema fundamentală a asemănării (aplicații)

Prima problemă, fie triunghiul ABC și MN paralelă cu BC, M aparține laturii AB și N aparține laturii AC.
Se știe că AM este egal cu 12 centimetri, AC egal cu 16 centimetri, MN egal cu 10 centimetri și BC egal cu 20 centimetri.
Calculați lungimea segmentelor AB, BM, AN și NC.
Dacă MN este paralelă cu BC, va rezulta din teorema fundamentală a asemănării că triunghiul AMN este asemenea cu triunghiul ABC.
Vă reamintesc enunsul teoremei fundamentale a asemănării, o paralelă dusă la una din laturile unui triunghi formează un triunghi asemenea cu cel dat.
Dacă triunghiul AMN este asemenea cu triunghiul ABC, va rezulta că laturile acestor două triunghiuri sunt proporționale.
Am supra AB este egal cu AN supra AC și egal cu MN supra BC.
Să înlocuim în această relație lungimile cunoscute. AM este 12, avem 12 supra AB, egal cu AN supra AC este 16, MN este 10, iar BC 20.
Ca să aflăm lungimea segmentului AB, egalăm primul raport cu ultimul.
12 supra AB este egal cu 10 supra 20.
De aici va rezulta că AB este egal cu 12 ori 20 supra 10, se simplifică 20 cu 10, obținem 12 ori 2, egal cu 24 cm.
Ca să-l aflăm pe AN, egalăm ultimele două rapoarte. AN supra 16 egal cu 10 supra 20.
De aici exprimăm lungimea segmentului AN, aceasta va fi egală cu 16 ori 10 supra 20, se simplifică 10 cu 20, la numitor ne rămâne 2, obținem 16 supra 2, egal cu 8 cm.
Am aflat așadar segmentele AB și AN, mai trebuie să aflăm BM și NC.
Pentru a afla lungimea segmentului BM, fie aplicăm teorema Vitales sau proporții derivate, fie aflăm lungimea acestui segment, făcând diferența dintre lungimea segmentului AB pe care am aflat-o și lungimea segmentului AM.
Vom alege a doua variantă, deoarece este mai rapidă, și atunci BM va fi egal cu AB minus AM, egal cu 24 minus 12 și egal cu 12 cm.
Iar pentru a afla lungimea segmentului NC, vom proceda analog, făcând diferența dintre AC și AN, obținem 16 minus 8, egal cu 8 cm.
Am aflat astfel cele 4 lungimi cerute.
Continuăm cu problema numărul 2.
În trapezul ABCD, AB este paralelă cu CD, AB este mai mică decât CD și notăm cu O intersecția diagonalelor AC și BD.
Se consideră MN o dreaptă paralelă cu AB, astfel încât O să aparțină segmentului MN, M aparține laturii AD și N aparține laturii BC.
Arătați că MO supra AB plus MO supra DC este egal cu 1.
Demonstrație.
Dacă MN este paralelă cu AB, iar O este un punct situat pe dreapta MN, înseamnă că MO va fi paralelă cu AB.
MN paralelă cu AB.
Vom aplica teorema fundamentală a asemănării și observăm astfel că s-au format două triunghiuri asemenea.
Triunghiul DMO va fi asemenea cu triunghiul DAB.
Rezultă, conform teoremei fundamentale a asemănării, că triunghiul DMO este asemenea cu triunghiul DAB.
Dacă cele două triunghiuri sunt asemenea, laturile lor sunt proporționale.
DM supra DA este egal cu DO supra DB și egal cu MO supra AB.
Observăm că am obținut unul din rapoartele care intervin în concluzia problemei.
Mai trebuie să găsim niște triunghiuri asemenea, astfel încât în relația de proporționalitate să intervină celălalt raport MO supra DC.
Dacă MO este paralelă cu AB, iar AB este paralelă cu CD, înseamnă că MO este paralelă și cu dreapta DC.
Și atunci se formează alte două triunghiuri asemenea.
Triunghiul AMO va fi asemenea cu triunghiul ADC.
MO este paralel cu DC.
Și atunci, conform teoremei fundamentale a asemănării, triunghiul AMO va fi asemenea cu triunghiul ADC.
Și va rezulta că cele două triunghiuri au laturile proporționale.
AM supra AD este egal cu AO supra AC și egal cu MO supra DC.
Astfel am obținut și al doilea raport care intervine în concluzia problemei.
Acum vom aduna aceste două relații, membru cu membru, făcând abstracție de raportul situat în mijloc.
Adunăm relațiile membru cu membru și obținem că DM supra DA plus AM supra AD este egal cu MO supra AB plus MO supra DC.
Cele două fracții au același numitor, AD, deci putem să adunăm numărătorii.
DM plus AM totul supra AD egal cu MO supra AB plus MO supra DC.
Dacă ne uităm pe figură, DM plus AM formează lungimea segmentului AD.
AD supra AD este egal cu MO supra AB plus MO supra DC.
AD supra AD este egal cu 1 și astfel obținem relația din concluzia problemei.
MO supra AB plus MO supra DC este egal cu 1.