Transcript: Teorema catetei

Teorema catetei
Într-un triungh dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică a lungimii ipotenuzei și a lungimii proiecției sale pe ipotenuză.
Avem un triungh dreptunghic ABC cu măsura unghiului A de 90 de grade.
În acest triungh, catetele sunt AB și AC, iar BC este ipotenuză.
Am dus de asemenea o perpendiculară AD pe latura BC.
Proiecția catetei AB pe ipotenuză este BD, iar proiecția catetei AC pe ipotenuză este DC.
Atunci, conform teoremei catetei, AB la pătrat va fi egal cu BD ori BC și AC la pătrat este egal cu DC ori BC.
Vom demonstra această teoremă.
Ne propunem să arătăm că triunghiul ADB este asemenea cu triunghiul CAB.
Vom folosi primul caz de asemănare și vom demonstra că aceste triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente.
În primul rând observăm că cele două triunghiuri sunt dreptunghice.
Așadar, unghiul ADB va fi congruent cu unghiul BAC pentru că acestea au măsura egală cu 90 de grade.
Putem observa că unghiul B din triunghiul ADB este congruent cu unghiul B din triunghiul CAB, adică unghiul B este un unghi comun.
Unghiul ABD este congruent cu unghiul ABC.
Din aceste două relații va rezulta, conform primului caz de asemănare, că triunghiul ADB este asemenea cu triunghiul CAB.
Din relația de asemănare a celor două triunghiuri va rezulta o relație de proporționalitate între laturile acestora.
Ne uităm mai întâi în triunghiul ADB.
Latura care se opune unghiului B în acest triunghi este AD, iar latura care se opune unghiului B din triunghiul mare este AC.
În triunghiul ADB, latura care se opune unghiului drept este AB, iar în triunghiul mare, ipotenuza este BC.
Din primul triunghi a mai rămas latura BD, iar din triunghiul mare a mai rămas latura AB.
În continuare vom folosi egalitatea dintre ultimele două rapoarte.
Înmulțim pe diagonală și obținem că AB ori AB este egal cu BD ori BC, dar AB ori AB este AB la pătrat egal cu BD ori BC.
Am demonstrat astfel prima relație. În mod analog se demonstrează și cea de-a doua relație.
Nu voi mai face și această demonstrație.
Această teoremă are două teoreme reciproce.
Prima reciprocă fie un triunghi ABC cu măsura unghiului AD 90 de grade și de un punct situat pe latura ABC.
Dacă AB la pătrat este egal cu BD ori BC, atunci va rezulta că AD este perpendiculară pe BC.
Și cea de-a doua teoremă reciprocă fie ABC un triunghi și de un punct situat pe latura ABC, AD înălțime în acest triunghi.
Dacă AB la pătrat este egal cu BD ori BC, atunci măsura unghiului A va fi egală cu 90 de grade.
Cu alte cuvinte, triunghiul va fi dreptunghic.
În continuare o să facem o aplicație.
Avem următoarea problemă.
Fie ABC un triunghi dreptunghic în A și AD perpendiculară pe BC.
Se știe că BC este egal cu 25 cm și DC egal cu 16 cm.
Se cere să calculăm lungimea segmentelor BD, AB, AC și AD.
Mai întâi vom afla lungimea segmentului BD.
Observăm că BD este egal cu BC minus DC, egal cu 25 minus 16 și egal cu 9 cm.
Voi scrie și pe figură BD egal cu 9.
Pentru a afla lungimea catetei AB o să aplicăm teorema catetei.
Din teorema catetei va rezulta că AB la pătrat este egal cu BD ori BC.
AB la pătrat va fi egal cu 9 ori 25.
AB la pătrat egal cu 225.
AB va fi radical din 225 și obținem că AB este egal cu 15 cm.
Acum trebuie să aflăm lungimea catetei AC.
Conform teoremei catetei, AC la pătrat este egal cu DC ori BC.
AC la pătrat va fi egal cu 16 ori 25.
Având în vedere că 16 și 25 sunt pătrate perfecte, nu este neapărat necesar să efectuăm acest produs.
Putem aplica reguli de calcul cu radical.
AC va fi egal cu radical din 16 ori 25.
Egal în continuare cu radical din 16 ori radical din 25.
Radical din 16 este 4 și radical din 25 este 5.
AC va fi egal cu 20.
AC va fi egal cu 20 cm.
Pentru a afla lungimea înălțimii AD aplicăm teorema înălțimii.
Din teorema înălțimii rezultă că AD la pătrat este egal cu BD ori DC.
AD la pătrat este egal cu 9 ori 16.
Avem din nou două pătrate perfecte 9 și 16.
Și atunci nu este necesar să facem înmulțirea.
AD va fi egal cu radical din 9 ori 16.
Egal cu radical din 9 ori radical din 16.
Egal cu 3 ori 4 și egal cu 12.
AD egal cu 12 cm.