Transcript: Teorema bisectoarei

Teorema bisectoarei. Într-un triunghi, bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă segmente proporționale cu celelalte două laturi.
Dacă avem un triunghi ABC, iar AD este bisectoarea interioară a unghiului A, atunci are loc următoarea relație BD supra DC este egal cu AB supra AC.
Pentru a demonstra această teoremă, vom duce prin punctul B o paralelă la bisectoarea AD, iar această paralelă intersectează latura AC în punctul E.
Putem aplica în acest caz teorema lui Tales și obținem BD supra DC egal cu EA supra AC.
Noi trebuie să arătăm că BD supra DC este egal cu AB supra AC. Așadar, ne mai rămâne doar să arătăm că AB este egal cu EA.
Dacă EB este paralelă cu AD, iar AB este secantă, unghiul EBA va fi congruent cu unghiul BAD. Voi nota aceste unghiuri cu A1 și A2.
Dacă aceste două drepte sunt paralele și considerăm secanta EC, atunci unghiul E va fi congruent cu unghiul A2, fiind unghiuri corespondente.
Însă A1 și A2 sunt unghiuri congruente pentru că AD este bisectoare și atunci va rezulta că unghiul B este congruent cu unghiul E.
Deci triunghiul ABE va fi un triunghi isoscel pentru că are două unghiuri congruente.
Dacă este isoscel, înseamnă că latura AB va fi congruentă cu latura EA, ceea ce trebuia să și demonstrăm.
Unghiul EBA este congruent cu unghiul A1 pentru că sunt unghiuri alterne interne.
Unghiul BEA este congruent cu unghiul A2 fiind unghiuri corespondente, dar unghiul A1 este congruent cu unghiul A2 pentru că AD este bisectoare.
Din aceste trei relații, va rezulta că unghiul EBA este congruent cu unghiul BEA, rezultă triunghiul ABE isoscel.
Din aceste trei relații, va rezulta că unghiul AB este congruent cu unghiul AE.
Din aceste trei relații, va rezulta că unghiul AB este congruent cu unghiul AD. Din aceste trei relații, va rezultă că unghiul AB este congruent cu unghiul AC.
Am demonstrat așadar teorema bisectoarei.
Iar în continuare o să facem o aplicație.
Bisectoarea unghiului AMB intersectează latura AB în punctul N, iar bisectoarea unghiului AMC intersectează latura AC în punctul P.
Să se arate că NP este paralelă cu BC.
Am scris mai întâi ipoteza și concluzia.
Dacă AM este mediană, înseamnă că punctul M este situat la mijlocul latului BC, deci BM va fi egal cu MC.
Pentru a arăta că NP este paralelă cu BC, vom aplica reciproca teoremei lui Thales.
Ne propunem să arătăm că AN supra NB este egal cu AP supra PC.
Dacă reușim să arătăm această egalitate, va rezulta conform reciprocei teoremei lui Thales că NP este paralelă cu BC.
Pentru a demonstra această egalitate, vom folosi teorema bisectoarei.
Dacă MN este bisectoare în triunghiul AMB, putem scrie că AN supra NB este egal cu AM supra MB.
Dacă MN este bisectoare în triunghiul AMB, rezultă din teorema bisectoarei că AN supra NB este egal cu AM supra MB.
Dacă MP este bisectoare în triunghiul AMC, rezultă din teorema bisectoarei că AP supra PC este egal cu AM supra MC.
Însă MB și MC sunt egale pentru că M este mijlocul latului BC.
MC este egal cu MB din ipoteză.
Și va rezulta din aceste trei relații că avem o egalitate între aceste rapoarte.
AN supra NB este egal cu AP supra PC.
Am arătat așadar că are loc această relație.
Va rezulta, conform reciprocei teoremei lui Tales, că NP este paralelă cu BC.