Transcript: Tabel matriceal. Matrice. Mulțimi de matrice
În această secțiune vom discuta despre o noțiune deosebit de importantă, atât pentru matematică, cât și pentru celelalte științe,
și anume despre matrice.
Cu ajutorul acestora studiem compatibilitatea și rezolvăm sisteme de ecuații liniare.
De asemenea, ele sunt utilizate în reprezentarea transformărilor lineare, în teoria grafurilor, în analiza matematică.
Jocurile pe calculator sunt o pasiune pentru mulți dintre noi.
Dar știai că proiecția imaginilor tridimensionale pe ecrane bidimensionale utilizează conceptul de matrice?
Criptografia utilizează pe lângă conceptul de permutare și conceptul de matrice, și anume în cifrul lui Hill.
Mișcarea corpului rigide este un domeniu important al fizicii care utilizează noțiunea de matrice alături de optică și mecanică cuantică.
Menegerii de proiecte utilizează în scrierea proiectelor matricea cadrologică.
În economie, matricele sunt utilizate pentru studiul tendințelor stocurilor de mărfuri, optimizarea profitului și minimizarea pierderilor.
Matricele sunt utilizate și în spectroscopie, în genetică, în robotică, în teoria jocurilor, respectiv teoria controlului.
Algoritmul PageRank, care ordonează paginile într-o căutare Google, utilizează de asemenea o categorie specială de matrice numită matricele stocastice.
Organizarea datelor în tabele ne permite analiza și interpretarea acestora.
Tabelul din imagine descrie ponderea elevilor cu rezultate slabe la citire și lectură, matematică și științe, la testele PISA din 2006, 2009 și 2012.
Comparativ cu media în Uniunea Europeană.
În schimb, tabelul din această imagine prezintă doar datele referitoare la România, la cele trei categorii organizate pe ani.
Astfel, pe prima linie sunt date referitoare la citire și lectură, pe linia a doua sunt date referitoare la matematică, iar pe linia a treia sunt date referitoare la științe.
Pe coloane avem datele organizate pe ani 2006, 2009, 2012.
Un astfel de tabel se numește tabel matricial.
Aici avem un tabel cu trei linii și cu trei coloane, aici avem un tabel cu trei linii și o singură coloană, iar aici avem un tabel cu o singură linie, dar cu trei coloane.
Așezarea numerelor în tabel nu este întâmplătoare, stabilindu-se de fapt o corespondență între poziția ocupată de un număr din tabel și valoarea acestuia.
Această poziție se identifică printr-o pereche ordonată de numere naturale, ij, care precizează linia i și coloana j pe care se află numărul.
Spre exemplu, 41,4% este un element care se găsește pe linia 3, respectiv coloana 2, deci va avea poziția 3,2, sau elementul 52,7% se află pe linia 2, respectiv coloana 1.
Generalizând, obținem următoarea definiție.
Fie m și n, două numere naturale nenule.
Se numește matrice cu m linii și n coloane, sau matrice de tip m-n cu elemente numere complexe, o funcție f definită pe produsul cartezian al mulțimilor 1,2m, respectiv 1,2n, cu valori în mulțimea numerelor complexe.
Astfel, perechii i,j îi asociem prin funcția f, elementul a,i,j din mulțimea numerelor complexe.
Aceste elemente a,i,j le aregem sub forma unui tablou cu m linii și cu n coloane.
Astfel, numerele a,i,j le numim elementele matricei, notată în acest caz cu litera a.
Această scriere este unică.
Uneori, mai notăm matricea și astfel, punând în evidență valorile pe care le poate lua indicele de linie, respectiv indicele de coloană.
Alteori, precizăm doar valorile maxime pe care le ia indicele de linie, respectiv indicele de coloană.
Alteori, pentru simplitate, folosim doar această notație.
Mulțimea matricelor de tip m,n cu elemente numere complexe se notează m indice m,n de c.
Mulțimea matricelor de tip m,n cu elemente numere reale se notează m indice m,n cu elemente din el.
Dacă elementele sunt numere raționale, atunci mulțimea acelor matrici se notează cu m,n de q,
iar dacă elementele sunt numere întregi, se notează cu m indice m,n de z.
Cum z este inclus în q, este inclus în r, iar acesta este inclus în mulțimea numerelor complexe,
putem spune că avem și relația m,n de c include mulțimea matricelor de tip m,n cu elemente din r,
care include mulțimea matricelor de tip m,n cu elemente din q,
și care include mulțimea matricelor de tip m,n cu elemente din z.
Să trecem în revistă câteva cazuri particulares de matrice.
Dacă m este egal cu 1, atunci matricea A este de tipul 1n, se reprezintă astfel și poartă numele de matrice linie.
Dacă n este egal cu 1, atunci matricea A este de tipul m1, se reprezintă astfel și poartă numele de matrice coloană.
Dacă m este egal cu n, atunci matricea A este de tipul nn, se numește matrice pătratică de ordinul n și are această reprezentare.
Mulțimea ordonată a11, a22, ann poartă numele de diagonală principală a matricei A,
iar mulțimea ordonată a1n, a2n-1, an1 poartă numele de diagonală secundară a matricei A.
Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A, a11, a22, ann,
poartă numele de urmă a matricei A și se notează cu 3sA.
Dacă toate elementele sunt egale cu 0, atunci matricea se numește matrice nulă și se notează cu o indice mn.
Să considerăm acum 4 matrice, matrice A, B, C și D, și să precizăm tipul acestor matrice.
Matricea A are o singură linie și 4 coloane, iar elementele sale sunt numere raționale, respectiv irraționale,
și atunci A este de tipul 1,4, cu elemente din mulțimea numerelor reale.
Matricea B are 3 linii și o singură coloană, iar elementele sale sunt numere întregi, irraționale, respectiv complexe,
și atunci B aparține mulțimii matricelor de tipul 3,1, cu elemente din mulțimea numerelor complexe.
Matricea C este o matrice cu 2 linii și 3 coloane, iar elementele sale sunt numere naturale, respectiv întregi,
și atunci matricea C putem spune că este o matrice de tipul 2,3, cu elemente din Z.
Matricea D are 3 linii, 3 coloane, elementele sale sunt numere irraționale, complexe, naturale, respectiv raționale,
și atunci matricea D este o matrice pătratică de ordinul 3, cu elemente numere complexe.
Să scriem acum câteva elemente ale acestor matrice. Elementul A13 este element al matricii A și se găsește pe coloana A3.
Elementul A14 este elementul care se află pe linia 1, respectiv coloana 4, și este egal cu radical din 2.
Dacă aș dori să precizez elementul B21, el se găsește pe linia 2, respectiv coloana 1, deci este egal cu i,
sau elementul B11 este un element care se găsește pe linia 1, respectiv coloana 1, deci este egal cu 0.
Pentru matricea C, să precizăm elementul C23, linia 2, coloana 3, deci este egal cu 3,
sau elementul C12, el se găsește pe linia 1, coloana 2, și este egal cu minus 3.
Să precizăm elementul D21, el se găsește pe linia 2, coloana 1, deci este egal cu 0.1.
D33, el se găsește pe linia 3, coloana 3, și este egal cu aranjamente de 3, toate câte 1.
Din păcate, urma matricei nu se poate calcula decât pentru matricea D, pentru că doar matricea D este o matrice pătratică.
Și atunci, urma matricei D este egal cu elementul A11, adică radical din 2, plus i la puterea a doua, adică elementul A22,
plus elementul A33, adică aranjamente de 3, toate câte 1. Este egal cu radical din 2, i pătrat, ne amintim că este egal cu minus 1,
iar aranjamente de 3, toate câte 1, este 3 factorial supra 3 minus 1, 2 factorial, adică este egal cu radical din 2, minus 1, plus 3.
Obținem așadar urma matricei D ca fiind egală cu radical din 2, plus 2.
Să vedem acum ce înseamnă egalitatea a două matrice. Date două matrice A și B, de tipul EMIN, cu elemente numere complexe,
spunem că matricile A și B se numesc egale dacă elementul Aij este egal cu elementul Bij pentru orice i,
aparținând mulțimii formate din elementele 1, 2, respectiv M, iar j aparține mulțimii formate din elementele 1, 2, N.
Date matricile A și B, pătratice de ordinul 2, să determinăm parametrii A, B, X, Y și Z, parametri reali, astfel încât cele două matrice să fie egale.
Ne punem problema egalității a două matrice numai atunci când cele două matrice au aceeași dimensiune.
Conform definiției, matricele A și B sunt egale dacă elementele corespunzătoare, adică elementele de pe aceleași poziții, sunt egale,
adică elementul A11 este egal cu elementul B11.
Din această egalitate obținem faptul că 1 este egal cu a la a doua plus bi, dar această egalitate o putem privi ca o egalitate de numere complexe
și asta înseamnă că partea reală a numărului complex din stânga a egalității este egală cu partea reală a numărului complex din partea dreaptă a egalității,
adică 1 este egal cu a la pătrat, iar partea imaginară a numărului complex din membru stâng, care este 0, este egală cu partea imaginară a numărului complex din membru drept,
care este b, adică 0 este egal cu b.
Obținem așadar faptul că a aparține mulțimii formate din elementele minus 1 și 1, iar b este egal cu 0.
Din egalitatea a21 este egal cu b21, obținem ecuația 2 este egal cu 2 la puterea x minus 1, dar funcția exponențială este o funcție injectivă,
ceea ce ne permite să afirmăm că 1 este egal cu x minus 1, obținându-l astfel pe x ca fiind egal cu 2.
Din egalitatea a12 este egal cu b12, obținem ecuația x minus y este egal cu 2, dar cum x era egal cu 2, obținem ecuația 2 minus y egal cu 2,
ceea ce ne permite să-l identificăm pe y ca fiind egal cu 0.
A mai rămas o singură egalitate și anume a22 este egal cu b22, ceea ce determină ecuația 3 este egal cu logaritm în baza 2 din z.
De asemenea, funcția logaritmică este o funcție injectivă, adică logaritm în baza 2 din 8 este egal cu logaritm în baza 2 din z,
și cum funcția logaritmică este o funcție injectivă, deducem că z este egal cu 8.
Proprietățile relației de egalitate a matricelor pe mulțimea matricelor de tipul M, N cu elemente din mulțimea numelor complexe
sunt generate de proprietățile relației de egalitate pe mulțimea numelor complexe.
Astfel, orice matrice este egală cu ea însăși, pentru orice matrice de tipul M, N și cu elemente din mulțimea numelor complexe,
regăsim așadar proprietatea de reflexivitate.
Dacă o matrice A este egală cu o matrice B, atunci matricea B este egală cu matricea A.
Oricare ar fi A și B, două matrice de tipul M, N cu elemente din C, aceasta reprezentă proprietatea de simetrie.
Dacă o matrice A este egală cu matricea B și matricea B este egală cu matricea C, atunci și matricea A este egală cu matricea C,
pentru orice matrice A, B și C de tipul M, N cu elemente din mulțimea numelor complexe.
Această proprietate poartă numele de proprietatea de tranzitivitate.