Transcript: Suma lui Gauss

În această secvență o să discutăm despre ceea ce se numește suma lui Gauss.
În primul rând, haideți să vedem cine este Gauss.
Karl Friedrich Gauss a fost un mare matematician german care s-a remarcat încă din copilărie,
prin faptul că făcea calcule foarte rapid și corect.
Se spune că în timpul unei ore de matematică, pentru că mereu termina foarte repede ce avea de rezolvat,
învățătorul său i-a dat să calculeze următoarea sumă, 1 plus 2 plus 3 plus și așa mai departe până la 100,
gândindu-se că o asemenea sumă o să-i dea ceva de lucru micului Gauss.
Însă ce credeți? Nu a fost așa și Gauss a calculat foarte repede această sumă.
Cum a făcut acest lucru?
El a observat că dacă adună primul număr cu ultimul, în cazul nostru pe 1 cu 100, obține suma 101.
Dacă îl adună pe 2 cu numărul din fața lui 100, care este 99 și în fața lui avem și 98,
adunându-l pe 2 cu 99, obține tot 101.
Dacă îl adună mai departe pe 3 cu 98, din nou obține 101 și așa mai departe.
Deci el a observat că întotdeauna grupând termenii 2 câte 2, va obține numărul 101.
Întrebarea este, de câte ori ne apare 101?
Câte grupe avem?
Noi avem în total 100 de numere și le grupăm 2 câte 2.
Asta înseamnă că 100 împărțit la 2 ne dă 50, deci avem 50 de grupe.
Cu alte cuvinte, numărul 101 apare de 50 de ori.
Venim aici și scriem, egal mai departe cu 101 apare de 50 de ori, deci îl înmulțim cu 50.
Și rezultatul este, putem să considerăm așa, 101 ori 5 ori 10.
Facem mai întâi acest produs și ne dă 505, ușor de văzut, și apoi adăugăm 0 de la final prin înmulțirea cu 10.
Cu alte cuvinte, rezultatul este 5050.
Și iată că astfel a calculat foarte rapid Gauss această sumă.
Ei bine, o sumă de numere consecutive, cum avem aici, de numere naturale consecutive, poartă numele de suma lui Gauss.
Și acum, haideți, înainte să trecem la un alt exemplu, să vedem ce numere regăsim, de fapt, aici în mijloc.
Pentru că, iată, după 3 o să urmeze 4, care se va aduna cu 97.
Bun, însă ce numere vom regăsi în mijloc?
Adică ce numere consecutive adunate au suma 101?
Vă las puțin timp să vă gândiți.
Vorbim de numerele 50 și 51.
Deci aici avem din nou puncte de suspensie și avem plus 97, la fel aici 4 plus și puncte de suspensie.
Iată, 50 adunat cu 51 și aceste două numere au suma 101.
Haideți să facem acum alt exemplu și pentru că aici am avut un număr par de numere, vom lua acum un număr impar de numere.
Deci vrem să calculăm suma numerelor 1 plus 2 plus 3 plus și așa mai departe și vrem un număr impar să mergem până la 21.
Nu luăm un număr foarte mare.
Cum procedăm?
Păi ideea e ca mai înainte, deci vom aduna primul număr cu ultimul, 1 cu 21 și obținem 22,
apoi pe 2 cu cât îl adunăm.
Haideți să scriem aici.
Avem 20 și aici avem 19.
Deci pe 2 îl vom aduna cu 20 și vom obține tot 22, pe 3 îl adunăm cu 19, cât obținem.
Deja nu vă mai surprinde, tot 22 și așa mai departe.
Cu alte cuvinte, noi obținem acest număr 22.
Însă problema care apare aici este aceea că noi avem în total 21 de numere, adică avem un număr impar de numere.
Și de vremea ce noi le grupăm două câte două, ce înseamnă?
Înseamnă că o să fie un număr care nu are pereche.
Care este acel număr?
Păi haideți să ne gândim puțin.
Ca să obținem suma 22, noi la un moment dat vom avea pe 10 pe care îl vom aduna cu cât?
Păi îl adunăm cu 12 și ne dă 22.
Haideți să trecem semnele plus și plus.
Deci îl adun pe 10 cu 12 și vom obține 22.
Și o să ne mai rămână numărul 11 care rămâne fără pereche.
În această situație, cum calculăm suma noastră?
Păi haideți să ne gândim așa.
Noi avem numerele.
Să scriem cu altă culoare.
Avem numerele 1, 2, 3 și așa mai departe.
10, 11, 12, 19, 20, 21.
Noi avem 21 de numere.
Pe 11 îl dăm afară.
Știm că el rămâne fără pereche.
Câte numere ne rămân?
Dacă din 21 dăm afară 1, ne rămân 20 de numere.
20 de numere pe care le grupăm două câte două.
Deci avem 20 împărțit la 2 cu alte cuvinte 10 grupe.
Având 10 grupe înseamnă că numărul 22 apare de 10 ori.
Aici nu prea apare că am scris grupe.
Deci avem 10 grupe.
Și acum terminăm calculul nostru.
Numărul 22 apare de 10 ori.
22 înmulțit cu 10 plus numărul 11 care nu are pereche.
220 adunat cu 11 obținem 231.
Aceasta este suma pe care am obținut-o.
Atunci când avem un număr împar de numere,
adică când ultimul număr este împar și avem o sumă de numere consecutive începând de la 1,
lucrurile par puțin mai complicate.
Dacă vi se pare mai complicat,
cel puțin așa mi s-a părut când mi s-a arătat această metodă,
și eram cam de vârsta voastră 10-11 ani,
putem să facem și altfel.
Și cum procedăm?
Încă o metodă.
Vrem să calculăm această sumă.
O rescriem până la 21.
1 plus 2 plus 3 plus și așa mai departe,
plus 21.
Această sumă, haideți să o notăm cu o literă și o notez cu S de la sumă.
Aceeași sumă, deci tot suma S, o vom rescrie altfel.
În ordinea descrescătoare a termenilor.
Adică începem de la 21.
21 plus 20 plus 19 plus și așa mai departe.
Haideți să trecem și aici.
19, 20, ca să vedeți clar.
Și aici vom avea 3 plus 2 plus 1.
Ce vom face în continuare este faptul că vom aduna aceste două relații.
Și folosim această notație.
Și să rețineți că întotdeauna putem să adunăm două egalități.
Și ca să vă fie mai clar, o să luăm un exemplu mai simplu.
Să considerăm că A, așa am notat noi, suma A este,
A reprezintă 1 plus 3.
Și B, am notat cu altă literă, 2 plus 9.
Și vrem să facem suma A plus B.
Punem aici operația de adunare.
Ce înseamnă că însumăm aceste două relații?
Înseamnă că vom aduna membrii care se află înaintea egalului.
Deci A plus B.
Trecem apoi egalul, că am ajuns în dreptul lui.
Și apoi adunăm membrii care se află după egal.
Deci 1 plus 3 adunat cu 2 plus 9.
Și rezultatul cât este?
Avem 15.
Bun, acum având aici adunare, știm că noi putem să adunăm termenii în orice ordine dorim.
Fiind peste tot operație de adunare și știm că folosim proprietățile adunării.
Asta înseamnă că pot să îl adun, de exemplu, pe 1 cu 2 mai întâi și apoi pe 3 cu 9.
Adică, iată, pe 1 îl adun cu 2.
Deci suma A plus B o putem scrie direct și așa.
1 adunat cu 2, care ne dă 3. Plus.
Haideți să scriem acest plus mai jos.
Plus.
Pe 3 îl adun cu 9 și îmi dă 12.
Și iată că rezultatul este 3 cu 12 tot 15.
Deci putem să facem suma și astfel.
Așa o să procedăm și pentru suma dată în ce am notat cu S mare.
Deci.
Și calculăm.
Am scris cu albastru.
S plus S.
Deci notăm S adunat cu S este egal cu.
Și facem acum suma.
1 plus 21, adică 22.
Plus.
2 cu 20, 22.
Plus 3 cu 19, tot 22.
Plus și așa mai departe.
Aici deja nu mai sunteți surprinși.
22, din nou 22, din nou 22.
Întrebarea este acum câți de 22 avem?
Păi haideți să ne uităm puțin.
Când îl adunăm pe 1 cu 21.
Deci făcând această sumă am obținut primul 22.
Făcând această sumă l-am obținut pe al doilea 22.
Această sumă ni l-a dat pe al treilea 22.
De fapt aceste numere.
1, 2, 3 și așa mai departe.
Se comportă ca niște contoare de numărare.
Ele ne arată care este poziția alui 22.
Sau de câte ori apare 22.
Făcând această sumă, 21 cu 1.
Ni l-a dat de fapt pe al 21-lea 22.
Deci iată că 22 apare de fapt de 21 de ori.
Deci venim și noi aici și notăm.
21 înmulțit cu 22.
S plus S îl putem scrie 2 ori S.
Și S este egal cu, avem 21 ori 22 împărțit la 2.
Și rezultatul o să vedeți că o să vă dea 231.
Iată, 231 am obținut și aici.
Mie când eram mică mi s-a părut mai simplă această metodă.
Și acum haideți să generalizăm.
Cu alte cuvinte.
Dacă avem de calculat această sumă.
1 plus 2 plus 3 plus și așa mai departe plus N.
Unde N este un număr natural mai mare decât 1.
Care este formula pentru suma lui Gauss?
Păi haide să ne închipuim că în locul lui 21 am avea de fapt N.
Ce vom scrie atunci?
Din acest pas, de la acest pas mă refer.
Păi vom obține așa, 2 ori S.
2 ori S va fi egal cu în loc de 21 am zis că scriem N.
N înmulțit cu, ce trecem în loc de 22?
N plus 1.
N plus 1 și avem grijă să-l trecem în paranteză.
Deci S va fi N înmulțit cu N plus 1 împărțit la 2.
Deci împărțit la 2.
Ei chiar aceasta este și formula.
Notăm aici N înmulțit cu N plus 1 împărțit la 2.
Oricare ar fi un număr natural mai mare ca 1 este valabilă această formulă.
Și haide să scriem aici că avem de a face cu formula pentru suma lui Gauss.
Deci notăm suma lui Gauss.
Acum ce am făcut aici nu este o demonstrație, este o analogie.
Dacă voi chiar vreți să faceți demonstrația pentru această formulă,
atunci puteți să luați suma 1 plus 2 plus 3 plus așa mai departe plus N
și procedați exact ca aici.
O să vedeți că obțineți această formulă.
Acum nu este de folos să reținem o asemenea formulă?
Sigur, cu ajutorul ei putem să calculăm foarte rapid asemenea sume de numere consecutive
indiferent dacă N este număr par sau impar.
Iată, aceasta este formula.
Și acum, haideți să facem și două exemple.
Vrem să calculăm valoarea acestei sume 1 plus 2 plus 3 plus și așa mai departe
și haideți să, ca ultimul număr să fie par, de exemplu 34.
Egal cu.
Cum procedăm?
Păi ne uităm la formulă.
Iată, aici ne apare în formulă N.
La noi N este 34, deci în loc de N scriem 34 înmulțit cu.
În loc de N plus 1 vom avea 34 plus 1 totul împărțit la 2.
Și acum facem calculul.
Avem 34 ori.
Aici obținem 35 împărțit la 2.
Acum, mai târziu o să discutăm că înmulțirea este și acumutativă ca și adunare,
adică putem să schimbăm locul acestor doi factori.
Și vom avea 35 înmulțit cu 34 împărțit la 2.
De ce ne este de folos această schimbare de poziția factorilor?
Pentru că atunci când avem o înmulțire urmată de o împărțire,
putem să facem mai întâi împărțirea.
Egal cu 35 înmulțit cu.
Aici obținem 17 și avem de calculat acest produs care ne dă 595.
Bun.
Să luăm acum alt exemplu în care N să nu fie par, atunci să fie cum?
Să fie impar.
Și avem 1 plus 2 plus 3 plus și mergem până la 47.
Egal cu.
Aplicăm formula.
În loc de N scriem 47 înmulțit cu 47 plus 1 împărțit la 2.
Și vom avea așa 47 ori 48 împărțit la 2.
Ce credeți că facem acum?
Facem mai întâi această înmulțire sau împărțirea?
Păi facem mai întâi împărțirea pentru că vom obține aici un număr mai mic.
Deci avem 47 ori 24.
Și la acest produs s-a redus calculul nostru.
Rezultatul este 1128.
Iată că dacă știm această formulă, putem să calculăm foarte rapid asemenea sume,
indiferent dacă N este număr par sau impar.