Transcript: Șiruri mărginite

În această lecție discutăm despre șiruri mărginite și începem cu o definiție.
Un șir AN se numește mărginit superior dacă există un număr real M, astfel încât AN să fie mai mic sau egal cu M, oricare ar fi numărul natural N.
Cu alte cuvinte, un șir este mărginit superior dacă toți termenii șirului sunt mai mici sau egali cu un număr real M.
Acest număr M se numește majorant al șirului.
Un șir AN se va numi mărginit inferior dacă există un număr real M, astfel încât M să fie mai mic sau egal cu AN, oricare ar fi numărul natural N.
Altfel spus, un șir este mărginit inferior dacă toți termenii șirului sunt mai mari sau egali cu o anumită valoare M.
Acest număr M mic se numește minorant al șirului.
Vom spune că un șir AN este mărginit dacă AN este mărginit superior și inferior.
Prin urmare, AN este mărginit dacă există două numere reale M mic M mare, astfel încât M mic e mai mic sau egal decât AN, mai mic sau egal cu M mare, oricare ar fi numărul natural N.
Dar această condiție se mai poate transcrie și astfel, există două numere reale M mic M mare, astfel încât AN să aparțină intervalului M mic M mare, oricare ar fi N numărul natural.
Așadar, dacă reprezentăm pe o axă un șir mărginit, toți termenii acestuia trebuie să aparțină unui interval de forma M mic M mare.
Iată, aici avem termenii șirului AN. În cazul în care AN este mărginit, toți termenii trebuie să aparțină unui interval.
Acum, orice interval poate fi inclus într-un interval mai mare centrat în 0. Iată, putem să includem acest interval într-un interval de forma minus AA, deci avem un interval simetric centrat în 0.
Haideți să scriem. Intervalul M mic M mare este inclus în intervalul minus AA, unde A este un număr pozitiv.
Dacă termenii șirului AN aparțin acestui interval M mic M mare, atunci AN aparține și intervalului minus AA.
Dar această condiție este echivalentă cu următoarea minus A mai mic sau egal decât AN mai mic sau egal decât A.
Iar această relație se mai poate transcrie și astfel modul de AN este mai mic sau egal decât A.
Așadar, această condiție pe care am scris-o aici se mai poate scrie și astfel există A, un număr pozitiv de data aceasta, astfel încât modul de AN să fie mai mic sau egal cu A, oricare ar fi N, număr natural.
Așadar, pentru a studia mărginirea unui șir, arătăm că este îndeplinită una din aceste trei condiții.
Un șir care nu este mărginit se numește nemărginit.
Să vedem în continuare câteva exemple.
Să vedem dacă este mărginit următorul șir AN, unde AN este egal cu 5, N, număr natural nenul.
Acesta este un șir constant, prin urmare toți termenii șirului au valoarea 5.
Așadar, acest șir este mărginit pentru că modul de AN este mai mic sau egal cu 5, oricare ar fi N, număr natural nenul.
Așadar, rezultă că șirul AN este mărginit.
Un alt exemplu, avem șirul BN, unde BN este egal cu minus 3 dacă N este par, 3 dacă N este impar.
Așadar, termenii șirului pot avea valoarea 3 sau minus 3.
Prin urmare, acesta este un șir mărginit pentru că BN aparține intervalului minus 3, 3, oricare ar fi N, număr natural nenul.
Sau am fi putut să scriem, ca și mai sus, modul de BN mai mic sau egal cu 3.
Așadar, șirul BN este mărginit.
Să vedem următorul șir, XN, unde XN este egal cu N, N, număr natural nenul.
Observăm așadar că șirul acesta este, de fapt, șirul numerelor naturale, 1, 2, 3, 4, 5 și așa mai departe.
Să vedem dacă acesta este un șir mărginit.
Putem să intuim faptul că acest șir va fi nemărginit pentru că el nu are o margine superioară.
Cu cât crește rangul termenilor, cu atât va crește și valoarea acestora.
Deci, cu cât mergem mai departe în șir, termenii acestuia tot cresc.
Prin urmare, șirul nu va fi mărginit superior.
Dar haideți să demonstrăm acest lucru.
O să demonstrăm prin reducere la absurd. Presupunem că XN este mărginit.
Dacă este mărginit, înseamnă că există un număr pozitiv A, astfel încât modul de XN să fie mai mic sau egal cu A,
oricare ar fi N număr natural nenul.
Adică există un A pozitiv, astfel încât, în cazul nostru, XN este egal cu N, iar modul de N este N.
Pentru că N e pozitiv.
N mai mic sau egal decât A, oricare ar fi N număr natural nenul.
Să vedem dacă este adevărată această afirmație.
În cazul în care aș alege N ca fiind partea întreagă din A plus 1, alegem partea întreagă pentru că N trebuie să fie număr natural,
partea întreagă a numărului A la care se adaugă 1 este mai mare decât A.
Prin urmare, nu pentru orice număr natural N are loc această inegalitate N mai mic sau egal cu A.
Iată, în cazul în care N este partea întreagă din A plus 1, atunci N va fi mai mare decât A.
Așadar, această condiție nu este îndeplinită pentru orice număr natural N.
Înseamnă că presupunerea noastră este falsă.
Prin urmare, rezultă că șirul XN este nemărginit.
Să facem în continuare niște exerciții.
Studiați mărginirea șirurilor.
Avem aceste patru șiruri.
În fiecare caz, N este număr natural diferit de 0.
Și începem cu punctul A.
Haideți să calculăm câțiva termeni ai acestui șir.
X4 supra 2 egal cu 2.
X3 este 3 ori 3 nouă minus 2 șapte supra 3.
Și mai calculăm un termen.
X4 este 3 ori 4 doispră 10 minus 2 zece supra 4.
Se mai simplifică și ne dă 5 pe 2.
Observăm așadar că toți termenii acestui șir sunt pozitivi.
Prin urmare, putem să scriem că 0 este mai mic sau egal decât XN.
Observăm așadar că șirul este mărginit inferior.
Haideți să vedem dacă reușim să arătăm că șirul este mărginit superior.
Pentru aceasta, mai scriem încă o dată formula termenului general.
XN egal cu 3N minus 2 supra N.
O să scriem această fracție ca o diferență de două fracții.
Și avem 3N pe N minus 2 pe N.
Egal cu 3 minus 2 supra N.
N este număr natural.
Prin urmare, 2 supra N este un număr pozitiv.
Dacă din 3 scădem o valoare pozitivă, obținem un număr mai mic decât 3.
Prin urmare, șirul nostru XN este mărginit superior de 3.
Așadar, putem să scriem XN mai mic decât 3.
Rezultă că șirul XN este mărginit.
Trecem la punctul B.
Avem șirul XN egal cu 4N plus 9 supra N plus 2.
Se poate observa imediat că toți termenii acestui șir sunt pozitivi.
Prin urmare, putem să scriem direct că 0 este mai mic sau egal decât XN.
Prin urmare, șirul este mărginit inferior.
Să vedem dacă reușim să demonstrăm că șirul este mărginit superior.
Pentru aceasta o să mai scriu încă o dată.
XN egal cu 4N plus 9 supra N plus 2.
Egal.
Acum, în loc de 9, o să scriem 8 plus 1.
Supra N plus 2.
Din primii doi termeni, dăm factor comun pe 4
și avem 4 pe lângă N plus 2 plus 1 supra N plus 2.
Egal.
4 pe lângă N plus 2 supra N plus 2 plus 1 supra N plus 2.
Se simplifică N plus 2 și obținem 4 plus 1 supra N plus 2.
Acum, această fracție 1 supra N plus 2 este o fracție subunitară
întrucât N ia valori mai mari sau egale cu 1
și atunci tot acest număr va fi mai mic decât 4 plus 1
care este egal cu 5.
Așadar, șirul XN este mai mic decât 5.
Putem să scriem aici.
Prin urmare, șirul este mărginit atât inferior cât și superior.
Așadar, XN este mărginit.
Continuăm cu punctul C.
Avem XN egal cu minus 1 la N supra N pătrat plus 2.
De data aceasta, haideți să calculăm modul de XN.
Și avem modul din minus 1 la N supra N pătrat plus 2
egal cu 1 supra N pătrat plus 2.
Și această fracție este subunitară.
Prin urmare, șirul nostru este mărginit.
Rezultă XN mărginit.
Și continuăm cu punctul D.
Avem XN egal cu radical din N plus 2 minus radical din N plus 1.
Știm că N plus 2 este mai mare decât N plus 1
din moment ce N este număr natural.
Prin urmare, radical din N plus 2 va fi mai mare decât radical din N plus 1.
Înseamnă că această diferență radical din N plus 2 minus radical din N plus 1 este pozitivă.
Prin urmare, XN este mai mare decât 0.
Sau putem să scriem 0 mai mic ca XN.
Așadar, șirul este mărginit inferior de 0.
Și acum o să arătăm că șirul este mărginit superior.
Continuăm alăturat.
O să mai scriu încă o dată.
XN egal cu radical din N plus 2 minus radical din N plus 1.
De data aceasta o să amplificăm această expresie cu expresia conjugată.
Adică amplificăm cu radical din N plus 2 plus radical din N plus 1.
Și o să obținem radical din N plus 2 plus radical din N plus 1
pe lângă radical din N plus 2 minus radical din N plus 1
supra radical din N plus 2 plus radical din N plus 1.
Egal, la numărător avem N plus 2 minus N minus 1,
atenție la semne,
supra radical din N plus 2 plus radical din N plus 1.
Egal, cu 1 supra radical din N plus 2 plus radical din N plus 1.
Acum putem să majorăm această fracție cu
1 supra radical din N plus 1 plus radical din N plus 1.
Iată, radical din N plus 2 este mai mare decât radical din N plus 1.
Prin urmare, numitorul primei fracții este mai mare decât numitorul acestei fracții.
Dar cele două fracții au același numărător.
Așadar, fracția cu numitorul mai mare este mai mică decât fracția cu numitorul mai mic.
Așadar, putem să facem această majorare și obținem în continuare egal
cu 1 supra 2 radical din N plus 1.
Care se mai poate scrie?
1 supra 2 ori
1 supra radical din N plus 1.
Această fracție este subunitară,
deci tot acest număr este mai mic decât 1 supra 2.
Am arătat așadar că șirul XN este mai mic decât 1 pe 2.
Putem să completăm aici.
Prin urmare, șirul XN este mărginit atât inferior cât și superior,
deci XN este mărginit.