Transcript: Semnul funcției de gradul I

Semnul funcției de gradul întâi are o aplicație deosebită în rezolvarea unor ecuații cu modul, respectiv a unor inequații.
A studia semnul funcției de gradul întâi înseamnă a determina acele valori ale lui X pentru care funcția este pozitivă,
respectiv găsirea celor valori ale lui X pentru care funcția este negativă.
Dacă primim acest exemplu, observăm că pentru anumite valori ale lui X funcția este pozitivă pentru că graficul acesteia este situat deasupra axei OX,
iar pentru anumite valori ale lui X funcția este negativă deoarece graficul acesteia este situat sub axea OX.
Observăm că până în acest punct funcția este pozitivă, iar de la acest punct încolo funcția este negativă.
Așadar, acest punct are o importanță deosebită în studiul semnului funcției de gradul întâi.
Reamintesc forma generală a unei funcții de gradul întâi.
F de X este egal cu AX plus B, unde A este diferit de 0.
Poi nota acest punct cu A, dat fiind faptul că el este situat pe axea OX,
ordonata acestui punct va fi 0, iar pentru a găsi abscisa punctului se rezolvă ecuația F de X egal cu 0.
Mai exact, AX plus B egal cu 0, de unde rezultă X egal cu minus B supra A.
Așadar, acest punct va avea coordonatele minus B supra A, 0.
În acest exemplu, pentru X luând valori mai mici decât minus B supra A, funcția este pozitivă,
iar pentru X mai mare ca minus B supra A, funcția este negativă.
Să vedem acum concret cum vom studia semnul funcției de gradul întâi.
Vom studia mai întâi cazul în care A este pozitiv.
Și vrem să vedem ce semn are funcția în cazul în care X este mai mic decât minus B supra A,
respectiv X mai mare decât minus B supra A.
Dacă X este mai mic decât minus B supra A, înmulțind toată inegalitatea cu A, A fiind pozitiv,
se ajunge la următoarea inegalitate, AX mai mic decât minus B.
Vreau să ajung la forma generală a funcției de gradul întâi pentru a vedea semnul acesteia.
Obțin AX plus B, mai mic ca 0.
Prin urmare, F de X este mai mic ca 0.
Observăm așadar că funcția F are semn contrar lui A, pentru X mai mic decât minus B supra A.
Iată, A este pozitiv, F de X negativ.
Așadar, putem să scriem F are semn contrar lui A.
Să vedem ce semn va avea funcția în cazul în care X este mai mare decât minus B supra A.
Înmulțim inegalitatea cu A și obținem AX mai mare decât minus B, adică AX plus B mai mare ca 0.
Observăm așadar că F de X este mai mare ca 0, pentru X mai mare ca minus B supra A.
Cu alte cuvinte, F are semn lui A.
Să vedem ce se întâmplă în cazul în care A este negativ.
Vom studia semnul funcției în cazul în care X este mai mic decât minus B supra A,
respectiv X mai mare decât minus B supra A.
Înmulțim inequația cu A.
Atenție, A este negativ, așadar se schimbă semnul inegalității.
Obținem AX mai mare ca minus B, AX plus B mai mare ca 0.
Așadar, F de X este mai mare ca 0, pentru X mai mic ca minus B supra A.
A este negativ, F de X este pozitiv.
Putem trage concluzia că F are semn contrar lui A.
Procedăm la fel și aici.
Înmulțim inequația cu A și obținem AX plus B mai mic ca 0, adică F de X mai mic ca 0.
Așadar, F are semn lui A.
În concluzie, observăm că dacă X este mai mic ca minus B supra A,
F are semn contrar lui A, indiferent dacă A este pozitiv sau negativ.
În ambele situații, am obținut că F are semn contrar lui A pentru X mai mic ca minus B supra A,
iar pentru X mai mare ca minus B supra A, funcția F are semnul lui A.
Iată, indiferent dacă A este pozitiv sau negativ, funcția F are semnul lui A pentru X lung valori mai mari ca minus B supra A.
Putem să scriem aceste concluzii într-un tabel.
Așadar, pentru a reține mai ușor semnul funcției de gradul 1, vom face un tabel.
Avem X și F de X.
X ia valori de la minus infinit la plus infinit.
Soluția ecuației atașate este minus B supra A. Acesta se mai numește și zeroul funcției.
Pentru X, luând valori mai mici ca minus B supra A, funcția F de X are semn contrar lui A,
iar pentru X mai mare ca minus B supra A, funcția are semnul lui A.
Să vedem concret un exemplu.
Avem funcția F definită pe R cu valori în R.
F de X egal cu 3X plus 6.
Se cere să studiem semnul acestei funcții.
Mai întâi rezolvăm ecuația atașată, 3X plus 6 egal cu 0.
Se obține soluția X egal cu minus 2.
Și acum să facem tabelul.
Avem pe prima linie X și pe a doua linie F de X.
X ia valori de la minus infinit la plus infinit.
Soluția ecuației este minus 2, iar pentru X egal cu minus 2, F de X este 0.
În acest caz, A este 3, așadar A este mai mare ca 0.
Pentru X luând valori mai mici ca minus 2, funcția are semn contrar lui A, adică minus.
Iar pentru X luând valori mai mari ca minus 2, funcția are semnul lui A, adică plus.
Și atunci putem să tragem următoarele concluzii.
Dacă X aparține intervalului minus infinit minus 2, atunci funcția F de X este negativă.
Dacă X aparține intervalului minus 2 infinit, F de X este mai mare ca 0.
Iar pentru X egal cu minus 2, F de X este egal cu 0.
Să vedem un alt exemplu.
Avem funcția F definită pe R cu valori în R, F de X egal cu minus 3X plus 2.
Rezolvăm ecuația atașată minus 3X plus 2 egal cu 0.
Obținem minus 3X egal cu minus 2, de unde rezultă X egal cu 2 pe 3.
Vom face tabelul de semn.
X, F de X.
Minus infinit plus infinit.
Soluția ecuației 2 pe 3.
F în 2 pe 3 este 0.
A este negativ.
Haideți să scriem aici. A este minus 3, adică mai mic decât 0.
Pentru X luăm valor mai mic ca 2 pe 3.
Funcția are semn contrar lui A, adică plus.
Iar pentru X mai mare ca 2 pe 3, funcția are semnul lui A, adică minus.
Și atunci vom scrie pentru X aparținând intervalului minus infinit 2 pe 3.
Avem F de X mai mare ca 0.
Pentru X luăm valori de la 2 pe 3 la infinit.
Funcția este negativă.
Iar pentru X egal cu 2 pe 3, funcția F de X este egală cu 0.
În continuare mai facem un exercițiu.
Se cere să stabilim semnul expresiilor.
La punctul A avem expresia E de X egal cu 3 minus X supra X plus 2, unde X este diferit de minus 2.
Iar la punctul B avem expresia E de X egal cu X pe lângă X minus 2 pe lângă X plus 4.
Pentru a studia semnul acestei expresii vom considera două funcții, F și G, definite pe R cu valori în R.
F de X este 3 minus X și G de X este egal cu X plus 2.
Vom trece aceste funcții într-un tabel.
Avem pe prima linie X, pe a doua linie F de X egal cu 3 minus X, apoi G de X egal cu X plus 2 și toată fracția E de X egal cu 3 minus X supra X plus 2.
Să rezolvăm ecuațiile atașate.
3 minus X este egal cu 0 pentru X egal cu 3.
X plus 2 este egal cu 0 pentru X egal cu minus 2.
Trecem aceste două valori în tabel în ordine crescătoare.
Avem minus infinit, minus 2, 3 și plus infinit.
Pentru X egal cu 3, funcția F de X este egală cu 0.
Pentru X egal cu minus 2, G de X este egal cu 0.
Pentru X egal cu 3, E de X este 0.
Iar pentru X egal cu minus 2, fracția nu are sens și vom scrie aici o bară verticală.
Vom folosi semnul funcției de gradul întâi atât pentru funcția F de X cât și pentru funcția G de X.
F de X este 3 minus X, așadar A este negativ.
F are semn contrarului A până la 3, adică plus.
Și F are semnului A de la 3 încolo, adică minus.
Trecem la a doua funcție, G de X egal cu X plus 2.
În acest caz, A este 1, deci pozitiv.
G de X are semn contrarului A până la minus 2, adică minus.
Și semnului A pentru X lumea lor mai mare ca minus 2.
Pentru a stabile acum semnul acestei expresii, folosim regula semnelor învățată la înmunțirea și împărțirea numerelor reale.
Plus cu minus este minus.
Plus cu plus este plus.
Și minus cu plus este minus.
Și acum, uitându-ne pe ultima linie a tabelului, observăm că E de X este mai mic a 0 pentru X luând valori de la minus infinit la minus 2.
Punem paranteză rotundă la minus 2 pentru că expresia nu are sens pentru X egal cu minus 2.
Reunit cu intervalul 3 infinit.
Și la 3 punem paranteză rotundă pentru că ne interesează cazul în care E de X este strict mai mic a 0.
Vom studia separat cazul în care E de X este 0.
Apoi E de X este mai mare ca 0 pentru X luând valori de la minus 2 la 3.
Și E de X este egal cu 0 pentru X egal cu 3.
E de X nu este definită sau nu are sens pentru X egal cu minus 2.
Și acum continuăm cu punctul B. Avem expresia E de X egal cu X pe lângă X minus 2 pe lângă X plus 4.
Pentru a studia semnul expresiei de la punctul B, considerăm 3 funcții F, G și H,
definite pe R cu valori în R, astfel F de X egal cu X, G de X egal cu X minus 2 și H de X egal cu X plus 4.
Mai întâi rezolvăm ecuațiile atașate pentru fiecare în parte.
F de X este egal cu 0 dacă și numai dacă X este egal cu 0.
Apoi G de X este 0 pentru X egal cu 2 și H de X este 0 pentru X egal cu minus 4.
Trecem aceste valori într-un tabel.
Pe prima linie avem X, apoi F de X egal cu X, urmează G de X egal cu X minus 2, H de X egal cu X plus 4 și E de X,
adică produsul X pe lângă X minus 2 pe lângă X plus 4.
X ea valori de la minus infinit la plus infinit.
Trecem zerourile funcțiilor în ordine crescătoare.
Avem minus 4, 0 și 2.
F se anulează pentru X egal cu 0, G se anulează pentru X egal cu 2, H se anulează pentru X egal cu minus 4,
E de X este un produs de 3 factori, iar un produs poate fi 0 dacă oricare dintre factori este 0.
Așadar E de X este 0 dacă X este minus 4, 0 sau 2.
Și acum începem cu studiul semnului funcției F de X.
În cazul funcției F de X, A este 1, deci pozitiv.
F are semn contrar lui A până la 0, adică minus.
Și semnului A pentru X mai mare ca 0.
G de X este X minus 2, deci A este 1, pozitiv.
G de X are semn contrar lui A până la 2, adică minus.
Și semnului A pentru X mai mare ca 2.
H de X este X plus 4, A este pozitiv.
Semn contrar lui A înseamnă minus, semnului A plus.
Folosim iarăși regula semnelor.
Produsul a 3 numere negative este negativ.
Apoi avem minus ori minus ori plus, înseamnă plus.
Plus ori minus ori plus este minus.
Iar plus ori plus ori plus este plus.
Vom scrie mai jos concluziile.
Observăm că E de X este mai mic ca 0.
Pentru X luând valori de la minus infinit la minus 4, iată,
reunit cu 0,2.
Punem paranteze rotunde pentru că studiem separat cazul în care E de X este 0.
Apoi E de X este mai mare ca 0.
Pentru X luând valori în intervalul minus 4, 0,
reunit cu 2, infinit.
Iar E de X este egal cu 0.
Dacă X aparține mulțimii, minus 4, 0 sau 2.
Într-o secvență următoare vom rezolva câteva ecuații și inecuații
folosind semnul funcției de gradul 1.