Transcript: Segmente proporționale

În lecția aceasta o să discutăm despre segmente proporționale, dar mai întâi vom defini raportul a două segmente.
Prin definiție, raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, exprimate în aceeași unitate de măsură.
Avem reprezentate două segmente, AB și CD. AB are 6 cm, iar CD are lungimea de 9 cm.
În acest caz, raportul segmentelor AB și CD va fi raportul lungimilor lor, 6 supra 9, fracția aceasta se mai poate simplifica cu 3 și obținem raportul 2 supra 3.
Atunci când ne referim la segmentele AB și CD privite ca figur geometrice, vom scrie segmentele între paranteze drepte, dar când facem referire la lungimea acestora, din punct de vedere algebric, nu vom mai pune și parantezele pătrate.
Să luăm un alt exemplu. Dacă avem un triunghi MNP cu lungimile laturilor de 3 cm, 4 cm și 5 cm, avem următoarele rapoarte.
Raportul segmentelor MN și NP va fi egal cu 3 supra 5, adică raportul lungimilor lor.
Observăm că toate segmentele sunt exprimate în aceeași unitate de măsură.
Raportul NP supra MP va fi 5 supra 4, iar raportul MN supra MP va fi 3 supra 4.
În continuare o să dăm o definiție.
Segmentele AB, BC și CD sunt proporționale cu segmentele MN, NP și PQ dacă lungimile lor sunt proporționale, adică dacă avem următoarea relație AB supra MN egal cu BC supra NP și egal cu CD supra PQ.
Așadar vom spune că segmentele sunt proporționale dacă lungimile acestora formează un șirt de rapoarte egale.
Să luăm un exemplu.
Avem următoarele segmente, AB având lungimea de 6 dm, BC cu lungimea de 18 dm, CD cu lungimea de 24 dm, EF cu lungimea de 9 dm, FG cu lungimea de 27 dm și GH având lungimea de 36 dm.
Să vedem dacă aceste segmente sunt proporționale.
Pentru aceasta vom calcula următoarele rapoarte.
Începem cu raportul AB supra EF.
Acest raport va fi egal cu 6 supra 9.
Putem să mai simplificăm cu 3 și obținem 2 supra 3.
Continuăm cu următorul raport, BC supra FG.
BC este 18, iar FG 27.
Putem să simplificăm această fracție cu 9 și obținem 2 supra 3.
Iar raportul CD supra GH va fi egal cu 24 supra 36.
Putem simplifica acest raport cu 6, de exemplu, și obținem 4 supra 6.
Se mai simplifică cu 2 și obținem 2 supra 3.
Observăm că toate aceste rapoarte sunt egale cu 2 supra 3, așadar aceste segmente vor fi proporționale.
Din aceste relații vom deduce că AB supra EF este egal cu BC supra FG și egal cu CD supra GH.
Toate aceste rapoarte sunt egale cu 2 supra 3.
2 supra 3 se mai numește raport de proporționalitate sau factor de proporționalitate.
Am arătat așadar că segmentele AB, BC și CD sunt proporționale cu segmentele EF, FG și GH.
Vom face în continuare un exercițiu.
Fie punctele E și F pe segmentul AB, astfel încât AE supra EB este egal cu 7 supra 9 și AF supra FB egal cu 3 supra 5.
Aflați valoarea raportului AF supra EB.
Avem două proporții, iar în aceste proporții apar patru segmente și nu cunoaștem lungimea acestora.
Trebuie totuși să aflăm valoarea raportului AF supra EB.
Dacă ne uităm pe figură, observăm că AE plus EB formează lungimea segmentului AB.
Să scriem acest lucru.
AE plus EB este egal cu AB.
Și haideți să notăm lungimea segmentului AB cu litera L.
Mai putem observa că AF plus FB formează de asemenea lungimea segmentului AB.
Și egal mai departe cu L.
Pornind de la proporțiile date, vom obține alte rapoarte egale folosind proporții derivate.
O să mai scriu o dată prima proporție dată în problemă.
AE supra EB
Egal cu 7 supra 9.
Știm de la proporții derivate că atunci când adunăm numitorii la numărători sau numărătorii la numitori,
obținem o nouă egalitate.
Noi trebuie să aflăm valoarea raportului AF supra EB.
Pentru că în cerință apare segmentul EB,
lăsăm numitorii dati în proporție și adunăm acești numitori la numărători,
obținând astfel o nouă proporție.
Din această egalitate obținem AE plus EB supra EB.
Va fi egal cu 7 plus 9 supra 9.
Rezultă de aici, AE plus EB este tocmai segmentul AB.
Deci obținem AB supra EB egal cu 16 supra 9.
Exprimăm de aici segmentul EB.
Va rezulta că EB este egal cu 9 ori AB supra 16.
Pe AB l-am notat cu L, deci voi scrie în continuare 9L supra 16.
Reținem această relație.
EB este egal cu 9L supra 16.
Mai trebuie să-l aflăm pe AF,
pornind de la a doua proporție dată în problemă.
O să mai scriu o dată această egalitate.
AF supra FB egal cu 3 supra 5.
În raportul care ni se cere apare segmentul AF.
Pentru a-l obține pe AF din această proporție,
o să adunăm numărătorii la numitori de data aceasta,
astfel încât la numărători să rămână lungimea segmentului AF
pe care dorim să o aflăm.
Obținem așadar că AF supra AF plus FB
egal cu 3 supra 3 plus 5.
Rezultă că AF supra AF plus FB este AB
egal cu 3 supra 8.
De aici va rezulta că AF este egal cu 3 ori AB supra 8.
Pe AB l-am notat cu L, deci obținem 3L supra 8.
Reținem această relație, AF este egal cu 3L supra 8.
Și acum să revenim la raportul cerut,
trebuie să aflăm AF supra EB
și vom folosi aceste două relații pe care le-am scris cu galben.
AF supra EB va fi egal cu,
în loc de AF scriem 3L supra 8,
iar în loc de EB scriem 9L supra 16.
Avem aici o fracție supraetajată,
linia de fracții înseamnă împărțire,
deci împărțim prima fracție la a doua.
3L supra 8 împărțit la 9L supra 16
egal cu 3L supra 8 ori 16 supra 9L.
Se simplifică 8 cu 16, rămâne 2 și 1.
Se simplifică 3 cu 9, rămâne 1 și 3.
Obținem L ori 2, adică 2L supra 3L.
Se mai simplifică L cu L
și obținem valoarea finală 2 supra 3.
Raportul cerut AF supra EB va fi egal cu 2 supra 3.