Transcript: Scoaterea factorilor de sub radical

În această lecție o să discutăm despre scoaterea factorilor de sub radical.
Să presupunem că trebuie să calculăm această sumă radical din 18 plus radical din 50.
În forma în care sunt scrise aceste numere, am putea crede că operația aceasta nu este posibilă,
deoarece nu avem radicale asemenea.
Însă dacă reușim să scriem acești radicali ca produse în care să apară același radical,
o să vedem că adunarea aceasta va fi posibilă.
Pentru aceasta trebuie să descompunem cele două numere în factor prim.
O să-l descompunem mai întâi pe 18.
18 împărțit la 2 este 9, 9 împărțit la 3 este 3 și 3 împărțit la 3 este 1.
Numărul 18 se va scrie 2 ori 3 la puterea a doua.
Să-l descompunem și pe 50 în factor prim.
50 împărțit la 2 este 25, 25 se împarte la 5 și obținem 5, 5 împărțit la 5 este 1.
50 va fi egal cu 2 ori 5 la puterea a doua.
Și acum să vedem cum putem să scriem radical din 18.
Acesta va fi egal cu radical din 2 ori 3 la puterea a doua.
Înainte să continuăm, haideți să ne amintim câteva reguli de calcul cu radical.
Radical dintr-un pătra perfect a la a doua este modul de a,
iar radical dintr-un produs a or b este egal cu radical din a ori radical din b.
Voi aplica și aici cea de-a doua formulă și voi scrie egal cu radical din 2 ori radical din 3 la a doua.
Dar pentru că 3 la a doua este pătra perfect, radical din 3 la a doua este 3.
Deci vom scrie radical din 2 ori 3.
Care se mai poate scrie 3 radical din 2?
Vom spune că am scos factorul 3 de sub radical.
Iar radical din 50 va fi egal cu radical din 2 ori 5 la a doua,
care se va scrie radical din 2 ori radical din 5 la a doua,
egal cu radical din 2 ori 5 și egal cu 5 radical din 2.
Și în acest caz spunem că am scos factorul 5 de sub radical.
Și acum să revenim la exercițiul inițial.
În loc de radical din 18 vom scrie 3 radical din 2,
iar în loc de radical din 50 vom scrie 5 radical din 2.
După cum observăm, avem radicali asemenea, deci putem să-i adunăm.
Vom aduna coeficiențe acestora, 3 plus 5 este 8 radical din 2.
Așadar scoaterea factorilor de sub radical se impune atunci când trebuie să facem calcule cu radicali.
Să facem în continuare un exercițiu.
Scoateți factorii de sub radical.
La punctul a mic avem radical din 12.
Descompunem numărul 12 în factori primii.
12 împărțit la 2 este 6, 6 împărțit la 2 este 3, 3 împărțit la 3 este 1.
Deci 12 se scrie 2 la a doua ori 3.
Și atunci radical din 12 va fi egal cu radical din 2 la a doua ori 3.
Aplicăm din nou regulile de calcul cu radical și scriem egal cu radical din 2 la a doua ori radical din 3.
2 la a doua este pătrat perfect și atunci factorul 2 va ieși de sub radical.
Și obținem 2 ori radical din 3, care se va scrie 2 radical din 3.
Punctul b, radical din 72.
Îl descompunem pe 72 în factori primi.
72 împărțit la 2 este egal cu 36, 36 se împarte la 2 și este 18, 18 împărțit la 2 este 9, 9 împărțit la 3 este 3 și 3 împărțit la 3 este 1.
72 este egal cu 2 la puterea a treia ori 3 la puterea a doua.
Și vom scrie radical din 72 egal cu radical din 2 la a treia ori 3 la a doua.
Egal.
Pe 2 la a treia o să-l scriem 2 ori 2 la a doua pentru că scopul este să identificăm pătratele perfecte.
Deci vom avea radical din 2 ori 2 la a doua ori 3 la a doua.
Egal cu radical din 2 ori radical din 2 la a doua ori radical din 3 la a doua.
Egal cu radical din 2 ori, aici avem pătrate perfecte, 2 ori 3, egal cu 6 radical din 2.
Punctul c, radical din 125.
Vedeți cum punem pe 125 în factor prim.
125 împărțit la 5 este 25, 25 împărțit la 5 este 5, iar 5 împărțit la 5 este 1.
125 înseamnă 5 la puterea a treia.
Deci radical din 125 va fi radical din 5 la a treia.
Pe 5 la a treia îl scriem 5 la a doua ori 5.
Egal cu radical din 5 la a doua ori radical din 5.
Egal cu 5 radical din 5.
Următorul exercițiu.
Punctul d.
Radical din 432.
Vedeți cum punem pe 432 în factor prim.
432 se împarte la 2, rezultatul împărțirii este 216, care la rândul său se împarte la 2 și obținem 108.
108 împărțit la 2 este 54, 54 împărțit la 2 este 27, 27 se împarte la 3 și obținem 9, 9 împărțit la 3 este 3 și 3 împărțit la 3 este 1.
O altă modalitate mai rapidă de a scoate factorii de sub radical fără a scrie toți acei pași intermediari în care folosim regulile de calcul cu radical ar fi următoarea.
Grupăm factorii câte 2 pentru că scopul este să identificăm pătratele perfecte.
Avem aici 2x2, adică 2 la a doua, iar în momentul în care vom extrage radical din 2 la a doua obținem 2.
La fel grupăm și următorii 2 factori, vom avea radical din 2 la a doua care va fi 2.
Radical din 3 la a doua va fi 3, iar ultimul factor care nu are perechie va rămâne sub radical pentru că acesta nu va fi pătrat perfect.
Toți ceilalți factori vor ieși de sub radical și obținem 2x2x3, iar factorul rămas va fi scris sub radical, radical din 3.
Egal 2x2x4x3, 12 radical din 3.
Pe viitor putem să folosim această metodă deoarece este mai rapidă.
Punctul E
Să scoatem factorii de sub radical în cazul în care avem minus radical din 7 la a treia ori 5 la a doua.
Numărul nostru deja este descompus în factor prim, trebuie doar să identificăm pătrate perfecte.
Semnul minus se copiază, iar în loc de 7 la a treia vom scrie 7 la a doua ori 7, și 5 la a doua rămâne sub forma aceasta.
Va fi egal cu minus radical din 7 la a doua ori radical din 7 ori radical din 5 la a doua.
Radical din 7 la a doua va fi 7, și radical din 5 la a doua va fi 5.
Deci obținem minus 7 ori 5 ori radical din 7.
Egal cu minus 35 radical din 7.
Punctul F
Radical din 2 la a patra ori 5 la a treia ori 3.
Va fi egal cu radical, în loc de 2 la a patra vom scrie 2 la a doua totul la a doua pentru a avea un pătrat perfect.
În loc de 5 la a treia vom scrie 5 la a doua ori 5, și 3 se copiază.
Egal cu radical din 2 la a doua totul la a doua ori radical din 5 la a doua ori radical din 5 ori 3.
Egal
Radical din 2 la a doua totul la a doua este 2 la a doua ori 5 ori radical din 5 ori 3, adică 15.
Egal
2 la a doua este 4, 4 ori 5, 20. Radical din 15.
Am terminat primul exercițiu și mai facem încă un exercițiu.
Exercițiu 2. Calculați la punctul a mic radical din 162 minus radical din 32.
Pentru a putea efectua această scădere trebuie mai întâi să scoatem factorii de subradicali.
Îl descompunem pe 162.
162 împărțit la 2 este 81, 81 se împarte la 3 și obținem 27.
Împărțit la 3 este 9, 9 împărțit la 3 este 3 și 3 împărțit la 3 este 1.
Grupăm factorii câte 2.
Aici avem 3 la a doua care va ieși de subradical și va fi 3.
Din nou avem 3 la a doua care se va scrie 3.
Iar acest număr 2, pentru că nu are pereche, el nu va fi pătrat perfect și se va scrie subradical.
Deci radical din 162 va fi 3 ori 3 ori radical din 2, adică 9 radical din 2.
Și acum îl descompunem și pe 32.
32 împărțit la 2 este 16, împărțit la 2 8, împărțit la 2 4, împărțit la 2 2, împărțit la 2 1.
2 la a doua va ieși de subradical, la fel și aici, și rămâne un 2 subradical.
Radical din 32 este egal cu 2 ori 2 ori radical din 2.
Egal 4 radical din 2.
Înlocuim în exercițiul inițial și obținem 9 radical din 2 minus 4 radical din 2 egal cu 5 radical din 2.
Și punctul B.
Radical din 54 plus radical din 96.
Îl descompunem pe 54 în factor prim, 54 împărțit la 2 este 27, împărțit la 3 9, 9 împărțit la 3 3 și 3 împărțit la 3 1.
Grupăm factorii câte 2.
Radical din 54 este 3 radical din 2 ori 3.
Aceștia nu sunt pătrate perfecte, deci rămân subradical.
Egal cu 3 radical din 6.
Și îl descompunem pe 96, împărțit la 2 este 48, 48 împărțit la 2 este 24, 24 împărțit la 2 este 12, împărțit la 2 6, împărțit la 2 3, 3 se împarte la 3 și obținem 1.
Aici o să avem un 2, aici încă un 2, iar subradical rămân factorii care nu au pereche, deci care nu sunt pătrate perfecte.
Și vom avea radical din 96 egal cu 2 ori 2, ori radical din 2 ori 3.
Egal cu 4 radical din 6.
Revenind la exercițiul nostru și înlocuim 3 radical din 6 plus 4 radical din 6 egal cu 7 radical din 6.