Transcript: Rezolvarea triunghiurilor

În această secvență vom rezolva triunghiuri oarecare. A rezolva un triunghi înseamnă a-i găsi toate laturile și unghiurile atunci când se cunosc trei dintre acestea.
Pentru a rezolva triunghiurile oarecare vom folosi teorema cosinusului, teorema sinusurilor și unele formule trigonometrice învățate.
Primul exercițiu se dă triunghiul ABC. Măsura unghiului A este egală cu 5pi supra 12 radiani, B este pi supra 3, AB are lungimea egală cu 5 unități.
Se cere să rezolvăm triunghiul ABC. Mai exact trebuie să găsim măsura unghiului C și lungimea laturilor AC și BC.
În orice triunghi suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180 grade sau pi radiani.
Deci A plus B plus C este egal cu pi.
C va fi egal cu pi minus A plus B.
Egal cu pi minus A este 5pi supra 12, iar B este pi supra 3.
Egal cu pi minus 9pi supra 12, egal cu 3pi supra 12.
Simplificăm cu 3 și obținem că C este egal cu pi supra 4 radiani.
Pentru a găsi lungimile laturilor AC respectiv BC vom aplica teorema sinusurilor.
Și avem AB supra sinus de C este egal cu BC supra sinus de A egal cu AC supra sinus de B.
AB este 5 supra sinus de pi supra 4 este egal cu BC supra sinus de A.
A este 5pi supra 12 și egal cu AC supra sinus de B.
B este pi pe 3.
Obținem valorile pentru sinus de pi pe 4 și sinus de pi supra 3.
Haideți să calculăm și sinus de 5pi supra 12.
Sinus de 5pi supra 12 este egal cu sinus 5pi supra 12.
Se poate scrie pi supra 4 plus pi supra 6.
Și acum aplicăm în continuare formula pentru sinus de A plus B.
Vă reamintesc.
Sinus de A plus B este egal cu sinus de A cosinus de B plus cosinus de A sinus de B.
Și atunci o să avem sinus de pi supra 4 ori cosinus de pi supra 6 plus cosinus de pi supra 4 ori sinus de pi supra 6.
Egal sinus de pi pe 4 radical din 2 pe 2 ori cosinus de pi supra 6 este radical din 3 pe 2 plus radical din 2 pe 2 ori 1 pe 2.
Egal cu radical din 6 plus radical din 2 totul supra 4.
Și acum revenim la această relație.
Și avem 5 supra sinus de pi supra 4 este radical din 2 pe 2.
Egal cu BC supra radical din 6 plus radical din 2 supra 4.
Și egal cu AC supra sinus de pi supra 3 este radical din 3 supra 2.
De aici putem să calculăm mai departe BC și AC.
BC este egal, îl mulțim pe diagonală, cu 5 ori radical din 6 plus radical din 2 supra 4 ori 2 supra radical din 2.
Egal, aici se simplifică cu 2 și obținem 5 radical din 2, aici dăm factor comun pe radical din 2,
pe lângă radical din 3 plus 1 supra 2 radical din 2.
Egal în continuare cu 5 pe lângă radical din 3 plus 1 supra 2.
Și mai trebuie să-l aflăm pe AC.
AC va fi egal cu 5 ori radical din 3 supra 2.
Ori 2 supra radical din 2.
Egal cu 5 radical din 3 supra radical din 2.
Am aflat astfel AC, BC, iar unghiul C este pi supra 4 în radiani.
Trecem în continuare la al doilea exercițiu.
Se dă triunghiul ABC cu AB egal 4 radical din 2, BC este 4 pe lângă 1 plus radical din 3.
Unghiul B are măsura egală cu 45 de grade.
Se cere să rezolvăm triunghiul ABC.
Mai exact trebuie să calculăm AC, A și C.
Pentru a calcula lungimea segmentului AC o să aplicăm teorema cosinusului.
Și avem AC la pătrat egal cu AB la pătrat plus BC la pătrat minus 2AB ori BC ori cosinus de 45 de grade.
AC la pătrat este egal cu 4 radical din 2 la pătrat plus BC la pătrat este 4 la a doua pe lângă 1 plus radical din 3 totul la a doua minus 2 ori 4 radical din 2 ori 4 pe lângă 1 plus radical din 3
ori cos de 45 radical din 2 pe 2.
AC la pătrat este egal cu 16 ori 2, 32 plus 16 pe lângă 1 plus 2 radical din 3 plus 3.
Aici se simplifică 2.
4 ori 4 este 16.
Radical din 2 ori radical din 2 este 2.
16 ori 2, 32 pe lângă 1 plus radical din 3.
AC la pătrat este egal cu 32 plus 16 plus 32 radical din 3 plus 48 minus 32 minus 32 radical din 3.
Se reduc niște termeni și obținem AC la pătrat egal cu 16 plus 48 adică 64.
Prin urmare AC este egal cu 8.
Mai trebuie să calculăm măsura unghiului A și măsura unghiului C.
Pentru aceasta vom aplica teorema sinusurilor.
A B supra sinus de C egal cu AC supra sinus de B și egal cu BC supra sinus de A.
Acum locuim în această relație elementele cunoscute.
A B este 4 radical din 2 supra sinus de C egal cu AC.
AC este 8 supra sinus de B.
B este 45 de grade.
Sinus de 45 este radical din 2 pe 2.
Egal cu BC 4 pe lângă 1 plus radical din 3 supra sinus de A.
În continuare calculăm sinus de C din această relație.
Sinus de C va fi egal cu 4 radical din 2 ori radical din 2 pe 2 ori 1 pe 8.
Egal cu 1 supra 2.
În consecință măsura unghiului C va fi egală cu 30 de grade.
Și mai trebuie să aflăm unghiul A.
Putem să aflăm fie din această relație sau mai simplu A este 180 de grade minus 45 plus 30.
A este egal cu 105 grade.