Transcript: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda substituției

În afară de metoda grafică, sistemele se mai pot rezolva și prin metoda substituției, dar și prin metoda reducerii,
și aceste două metode sunt cele mai des folosite.
Acum, vom discuta în această secvență despre rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda substituției.
Și avem acest sistem de două ecuații cu două necunoscute, x plus 5y egal cu 4 și 2x minus 3y egal cu 21.
Metoda substituției presupune să substituim, adică să înlocuim una din cele două necunoscute.
Și vom înlocui necunoscuta care se exprimă cel mai ușor.
Concret, în cazul nostru, haideți să ne uităm la prima ecuație pentru că e mai simplă decât a doua.
Și în această ecuație e mai simplu să le exprimăm pe x în funcție de y sau invers, pe y în funcție de x.
Păi e mult mai simplu să le exprimăm pe x în funcție de y, pentru că putem scrie foarte ușor că x este egal cu cât.
Din această relație scădem 5y sau trecem pe 5y peste egal cu semn schimbat și vom avea 4 minus 5y.
Și acest sistem este echivalent prin urmare cu acesta, a doua ecuație o copiem, nu modificăm nimic la ea, 2x minus 3y egal cu 21.
Când avem sisteme echivalente, mulțimea soluțiilor nu se schimbă.
Deci putem avea oricât de multe sisteme echivalente vrem, mulțimea soluțiilor va fi aceeași.
Deci putem liniștit să lucrăm acest sistem.
Acum, de ce l-am scris pe x în funcție de y? Ce vom face în continuare?
Păi acum îl vom înlocui pe x în a doua ecuație.
Astfel, în loc de x vom trece 4 minus 5y, pentru că x este egal cu această diferență și această diferență o vom scrie aici în locul lui x.
De ce facem acest lucru? Pentru că vom obține aici o ecuație cu o singură necunoscută și anume necunoscuta y.
O să-l determinăm foarte ușor pe y și apoi îl determinăm și pe x.
Deci e echivalent cu prima ecuație, acum o copiem, x egal cu 4 minus, pardon, minus 5y și vom lucra această ecuație.
Avem 2 înmulțit cu, în loc de x trecem această diferență.
De ce avem nevoie? Avem nevoie de paranteză.
Vom scrie în paranteză diferența 4 minus 5y.
Minus 3y egal cu 21.
Echivalent mai departe cu prima ecuație.
Tot așa o vom copia, x egal cu 4 minus 5y.
Și aici haide să desfacem paranteza.
2 ori 4 ne dă 8, minus 2 ori 5 ce înseamnă 10y, minus 3y egal cu 21.
Echivalent cu x egal cu 4 minus 5y.
Și aici putem să facem această sumă, minus 10y minus 3y.
Deci avem minus 13y egal cu 21.
Iată ecuația cu necunoscuta y, ecuație pe care am adus-o la forma cea mai simplă.
Și acum să-l determinăm pe y.
Deci x egal cu 4 minus 5y.
Acum din această egalitate trebuie să scădem pe 8.
Și vom avea minus 13y.
Va fi egal cu 21 minus 8.
Voi scrie direct că ne dă 13.
Și haide să șterg aici.
Și va fi echivalent mai departe cu.
Să scriem prima relație x egal cu 4 minus 5y.
Iar y cât ne dă?
Foarte ușor, y este minus 1.
L-am găsit pe y, acum îl determinăm pe x.
Deci vom avea y este minus 1.
Iar x, cum îl găsim?
În loc de y scriem această valoare.
Avem 4 minus 5 ori minus 1.
Și acum vom obține că x ne dă.
Aici avem 5 adunat cu 4 înseamnă 9 și y egal minus 1.
Acum putem să și verificăm dacă vrem soluția sistemului.
Deci dacă am vrea să facem și verificarea.
În locul lui x vom trece 9 și în locul lui y vom trece minus 1.
Și trebuie să obținem relații adevărate.
În locul lui x am spus că scriem 9 adunat cu 5 înmulțit cu minus 1 este egal cu 4.
Și în același timp trebuie să avem și 2 ori 9 minus 3 înmulțit cu minus 1.
Trebuie să ne dea 21.
Păi haideți să vedem.
Echivalent cu avem 9 minus 5 egal cu 4.
Este într-adevăr o relație adevărată.
Și aici avem 18 plus 3 este egal cu 21.
Sigur.
De ceată că am făcut și verificarea.
Prin urmare soluția sistemului este formată de această pereche de numere 9 și minus 1.
Următorul exemplu este acesta.
3x minus y egal 8 și 4x adunat cu 2y egal 7.
Care necunoscută se exprimă cel mai simplu.
Noi tot așa ne uităm la prima ecoație pentru că e mai simplă decât a doua.
Și observăm că y se poate scrie foarte ușor în funcție de x.
Iată avem aici 3x minus y egal 8.
Deci ca să-l determinăm, ca să-l obținem pe y.
Vom aduna y în această relație și obținem că 3x egal cu 8 plus y.
Apoi scădem din această egalitate pe 8 și avem că 3x minus 8 ne dă y.
Deci ai de să notăm că y egal cu 3 ori x minus 8.
Deci sistemul va fi echivalent cu și să ștergem și aici.
A doua ecoație o vom copia.
4x adunat cu 2y ne dă 7.
Ce facem acum?
Pe y din a doua ecoație îl vom înlocui cu această diferență pentru că y se scrie 3x minus 8.
Și vom obține prima ecoație o copiem.
Avem că y egal cu 3 ori x minus 8.
Iar aici vom obține 4x adunat cu 2 înmulțit cu această diferență.
Și scriem în paranteză 3x minus 8 ne dă 7.
Echivalent cu, observăm că aici avem o ecoație cu necunoscuta x, avem o singură necunoscută.
Deci o vom determina.
Y egal 3x minus 8.
Și aici avem 4x adunat cu 2 ori 3 ori x, adică 6x, minus 2 ori 8, 16 egal cu 7.
Echivalent cu, avem 3x minus 8 și aici avem 10x minus 16 ne dă 7.
Și îl determinăm pe x.
Din nou copiem prima egalitate.
Și aici vom avea că 10x egal cu 7 adunat cu 16, 23.
Și iată că îl obținem acum pe x care este egal cu 23 împărțit la 10, adică 23 supra 10.
Cât este y?
Deci aici avem acoloată, y este egal cu 3 împărțit cu x, adică cu 23 supra 10, minus 8.
Echivalent cu, y va fi egal cu, avem aici 69 pe 10 minus 8, deci obținem 69 minus 8, 10 pe 10
și x ne dă 23 supra 10.
Aici ne dă minus 11 pe 10, chiar o să șterg și haide să scriem direct.
Minus 11 supra 10.
Deci soluția este formată din această pereche de numere 23 pe 10, atât este x și y este minus 11 pe 10.
Acum ca să fim siguri că nu s-a strecurat vreo greșală în calculul nostru, cel mai bine este să verificăm această soluție
de să înlocuim în aceste două relații pe x cu 23 pe 10 și pe y cu minus 11 pe 10.
Și într-adevăr vom găsi că soluția acestui sistem este cea de aici.