Transcript: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda reducerii

Despre rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda substituției am discutat, acum vom discuta despre metoda reducerii.
Deci, vom rezolva sisteme de ecuații folosind această metodă care, să știți, e o metodă foarte rapidă de rezolvarea sistemelor.
Și ni se da acest sistem, să-l citim cu atenție, x minus 2y egal 4 și 5x plus 4y egal 6.
Metoda reducerii presupune să reducem o necunoscută.
Concret, trebuie să înmulțim aceste două ecuații, sau cel puțin una dintre ele, convenabil astfel încât prin însumarea noilor relații obținute să ni se reducă o necunoscută.
Și acum, haideți să citim să vedem ce necunoscută e destul de simplu de redus.
Avem aici x minus 2y și aici avem 5x adunat cu 4y.
Păi, dacă ne uităm la necunoscuta y, avem aici coeficientul minus 2 și aici coeficientul 4.
Cu ce numere să înmulțim acești două coeficienți, astfel încât să obținem numere opuse?
Pentru că vrem ca prin adunarea noilor relații obținute, această necunoscută y să se reducă.
Deci, coeficienții trebuie să fie numere opuse.
Păi, e foarte simplu. Putem să înmulțim pe minus 2 cu 2.
Deci, voi trece aici o bară verticală și vom înmulți aici cu 2.
Și vom avea minus 2 ori 2, o să ne dea minus 4 ori y.
Și aici avem 4y. Prin adunare, necunoscuta y o să dispară.
Deci, sistemul echivalent este 2 ori x ne dă 2x, minus 2 ori 2 ne dă 4 ori y, egal cu 4 ori 2 ne dă 8.
Aici nu am înmulțit cu nimic, deci copiem această ecuație.
Și acum, am spus că facem suma acestor două relații.
Deci, le adunăm.
Voi trece și aici semnul plus, să nu uităm că adunăm relațiile.
Și acum, adunăm membru cu membru.
2x adunat cu 5x ne dă 7x, minus 4y adunat cu 4y ne dă 0.
Nu vom trece 0, trecem această bară.
Egal cu 8 cu 6, 14.
Deci, 7x egal 14.
Cu alte cuvinte, x egal cu 2.
Iată cât de rapid am determinat o necunoscută folosind această metodă.
Acum, pentru determinarea lui y, avem două variante.
Și voi trece aici varianta 1.
De vreme ce deja l-am găsit pe x, putem să aplicăm în continuare metoda substituției.
Cu alte cuvinte, x este egal cu 2 și vom alege una din cele două ecuații pentru a-l determina pe y.
Evident, o alegem pe cea mai simplă, deci prima.
Avem x minus 2y egal cu 4.
Echivalent cu x ne dă, ne-a dat deja 2.
Și acum, în locul lui x, în a doua relație, trecem 2.
Îl înlocuim pe x.
2 minus 2y ne dă 4.
Cât îl obținem pe y?
E ușor de văzut că y este minus 1.
Minus 1 ori minus 2 ne dă 2, cu 2, 4.
Deci, y egal cu minus 1.
Acum, aici, în această rezolvare, am combinat metoda reducerii cu metoda substituției.
Dacă însă nu vrem să aplicăm metoda substituției, putem să continuăm, pentru determinarea lui y, tot cu metoda reducerii.
Deci, a doua variantă de rezolvare.
Trecem aici varianta 2.
Să ștergem numărul 1.
Și, pentru aceasta, vom copia sistemul inițial, de la care am plecat.
Avem x minus 2y egal 4.
Și 5x adunat cu 4y egal 6.
Acum, vrem să reducem necunoscuta x.
Și avem aici coeficientul 1.
Iar aici avem coeficientul 5.
Avem 5 ori x.
Atenție! Ca să reducem această necunoscută, ce trebuie să facem?
Trebuie să obținem acești coeficienți numere opuse.
De ce trebuie să fie numere opuse?
Atunci, e suficient să înmulțim prima relație cu cât?
Păi, de vreme ce aici avem 5, opusul lui 5 este minus 5.
Deci, vom înmulți aici cu...
Trecem această bară verticală și înmulțim cu minus 5.
Și sistemul este echivalent cu...
Avem 1 ori minus 5 ne dă minus 5x.
Minus 5 ori minus 2 ne dă plus 10y egal cu 4 ori minus 5 minus 20.
A doua relație o copiem.
5x plus 4y egal 6.
Și acum, facem suma.
Deci, adunăm aceste două relații.
Voi trece aici plus.
Și vom avea minus 5x adunat cu 5x ne dă 0.
Trecem această bară.
10y plus 4y ne dă 14y egal cu minus 20 plus 6 ne dă minus 14.
Deci, y ne dă minus 1.
Și iată că, folosind aici metoda reducerii, îl determinăm pe x și folosind apoi tot metoda reducerii, îl determinăm pe y.
Deci, obținem x egal cu 2 și y egal cu minus 1.
Prin urmare, ca metodă de rezolvare, voi puteți fie să combinați metoda reducerii cu cea a substituției,
cum am făcut aici în prima parte,
sau puteți să folosiți, atât pentru determinarea lui x cât și pentru determinarea lui y, doar metoda reducerii,
cum am făcut aici și aici.
Oricum, ar fi ușor de văzut că această metodă este una rapidă.
Haideți să mai facem un sistem, să rezolvăm un sistem.
Minus 3x adunat cu 2y egal 12 și 4x adunat cu 5y egal 7.
În acest sistem, observăm că toți coeficienții necunoscutelor sunt diferiți de unul.
Coeficienții lui x sunt minus 3 și 4, iar ai lui y sunt 2 și 5.
Ei bine, pentru un asemenea sistem, nu e foarte simplu să exprimăm o necunoscută în funcție de cealaltă.
Totuși, dacă alegem să facem acest lucru, deci alegem să rezolvăm prim metoda substituției,
vom avea un calcul destul de laborios.
De aceea, e recomandat ca pentru asemenea sisteme să folosim metoda reducerii.
Și avem aici, haideți să reducem mai întâi necunoscuta x, avem coeficientul minus 3 și 4,
cu cât să înmulțim cele două relații, astfel încât noi coeficienți să fie numere opuse.
Păi, minus 3 înmulțit cu ce număr va fi opusul acestui produs?
4 înmulțit cu un alt număr.
Voi face aici un semn de întrebare mai mare, ca să nu credeți că în locul semnului întrebării avem același număr.
Păi putem trece aici în minus 3 ori 4, adică minus 12, care este opusul lui 12.
Deci aici avem 4 ori 3.
Cu alte cuvinte, prima relație o înmulțim cu 4 și vom avea 4 ori minus 3, adică minus 12.
Și ca să obținem aici 12, vom înmulți aici cu 3.
Și vom avea următorul sistem.
Facem înmulțirile.
Minus 3 ori 4 ne dă minus 12x.
2 înmulțit cu 4 ne dă 8, avem aici plus, deci plus 8y, egal cu 12 ori 4, 48.
4 ori 3 ne dă 12x, plus 5 ori 3, 15y, egal cu 7 ori 3, 21.
Și acum facem suma.
Minus 12x adunat cu 12x ne va da 0, deci trecem această bară.
8y adunat cu 15y ne dă 23y, egal cu 48 plus 21 ne dă 69.
Și obținem că y este egal cu 3.
Acum haide să-l determinăm pe x, tot prin metoda reducerii.
Deci vom copia acest sistem, să-l trecem aici și să reducem necunoscuta y.
Avem coeficienții 2 și 5.
Cu cât să-l înmulțim pe 2 și cu cât să-l înmulțim pe 5, astfel încât să obținem numere opuse.
Păi putem să înmulțim prima relație cu 5 și vom avea 5 ori 2, 10.
Și atunci aici trebuie să obținem minus 10, deci vom înmulți cu minus 2.
Și vom avea sistemul echivalent.
Va fi minus 3 înmulțit cu 5 ne dă minus 15x.
2 înmulțit cu 5 ne dă 10y, egal cu 12 ori 5, adică 60.
Aici avem 4 ori minus 2 ne dă minus 8x, adunat cu, de fapt minus pentru că avem 5 ori minus 2 ne dă minus 10y, egal cu 7 ori minus 2, minus 14.
Și acum facem suma celor două relații, trecem aici plus și vom avea minus 15 plus minus 8 ne dă minus 23x.
10y plus minus 10y ne dă 0, nu trecem nimic, egal cu 60 adunat cu minus 14, adică 60 minus 14 ne dă 46.
Și obținem că x ne dă 46 împărțit la minus 23, adică minus 2.
Să încadrăm, am obținut că y este egal cu 3 și x ne dă minus 2.
Putem să și verificăm soluția ca să fim siguri că nu s-a strecurat vreo greșeală de calcul.
Deci dacă vrem să facem verificarea, trebuie să îl înlocuim pe x cu minus 2 și pe y cu 3 în fiecare din aceste două ecuații.
Deci să vedem dacă, să verificăm dacă minus 3 înmulțit cu minus 2 adunat cu 2 ori 3 este oare egal cu 12 și în același timp 4 înmulțit cu minus 2 adunat cu 5 ori 3 ne dă oare 7.
Păi am avea următoarele relații, 6 adunat cu 6 egal 12, avem o relație adevărată, minus 8 adunat cu 15 ne dă 7 sigur, deci și această relație este adevărată.
Am făcut și verificarea și atunci haide să notăm că soluția acestui sistem este formată de perechea de numere minus 2 și 3.