Transcript: Rezolvarea sistemelor de ecuatii folosind metoda grafică

În această secvență vom discuta despre rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda grafică
și ni se dă un sistem de două ecuații cu două necunoscute, necunoscutele sunt x și y.
De ce putem rezolva un sistem de ecuații printr-o metodă grafică?
Fiecare din aceste două ecuații este o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute,
cu alte cuvinte este ecuația unei drepte, deci aici avem ecuațiile a două drepte.
Atunci, ca să rezolvăm prin metoda grafică un asemenea sistem,
vom trasa în același sistem de coordonate dreptele date prin aceste două ecuații
și în funcție de poziția dreptelor vom stabili soluția sistemului.
Și o să vedeți că e chiar foarte simplu.
Deci mai întâi trasăm dreapta de ecuație 2x plus y egal 3.
Și ca să ne fie mai ușor la calcul, haideți să îl scoatem de aici pe y,
rezultă că y este egal cu 3 minus 2x și facem tabelul de valori.
De câte puncte avem nevoie?
De două puncte pentru că știm deja, reprezentăm o dreaptă.
Și vom trece aici pe x și aici pe y.
Și haideți să-i dăm lui x valoarea 0 și să-i mai dăm și valoarea 1 și să-l găsim pe y.
Y, de fapt dacă x este 0, atunci cât este y?
Vom avea 3 minus 2 înmulțit cu x, adică cu 0.
Și obținem 3. Venim și trecem aici.
Dacă x însă este 1, atunci y va fi egal cu 3 minus 2 înmulțit cu 1.
Pentru că x e 1. Și vom avea 3 minus 2, 1.
Am obținut punctele de coordonate 0 și 3 și punctul de coordonate 1 și 1.
Și acum haideți să trasăm aceste două puncte și dreapta determinată de ele.
Avem 0 și 3.
Deci pe axa y trecem numărul 3, adică aici.
Punctul de coordonate 0 și 3 este acesta.
Punctul de coordonate 1 și 1.
Avem aici 1 și aici tot 1.
Deci vorbim de, iată, acest punct.
Și acum dreapta determinată de aceste două puncte este aceasta.
Adică dreapta de ecuație 2x plus y egal 3.
Absolut la fel vom proceda și pentru a doua ecuație.
Haideți să ștergem aici.
Deci avem dreapta de ecuație x minus 2y egal cu 4.
Sigur, aici putem să îl exprimăm pe x în funcție de y.
E mai simplu, însă în general se exprimă y în funcție de x.
Atunci haideți să-l scoatem de aici pe y.
Y va fi egal cu.
Și cum procedăm?
Păi pe 2y putem să-l trecem în cealaltă parte a egalului cu semn schimbat.
Și vom avea că x egal cu 4 plus 2y.
Acum pe 4, care are semnul plus în față, îl trecem în această parte cu semn schimbat.
Și avem x minus 4 ne dă 2y.
Și ca să-l determinăm pe y, această relație trebuie să o împărțim la 2.
Deci vom avea x minus 4 supra 2.
Și l-am determinat, l-am exprimat pe y.
Să facem acum tabelul de valori.
Tot așa, îi dăm lui x două valori.
Trecem aici x și aici y.
Și haideți să-i dăm lui x valoarea 0 și să-i mai dăm valoarea 4.
Pentru că, iată, va fi un calcul foarte ușor.
O să obținem aici 4 minus 4, adică 0.
Dacă x este 0, cât este y?
Păi avem 0 minus 4 totul supra 2, adică minus 2.
Trecem aici minus 2.
Dacă x este însă 4, atunci y va fi egal cu 4 minus 4 pe 2, adică 0.
Și să trecem punctele pe care le-am obținut.
Avem punctul de coordonate 0 și minus 2.
Iar al doilea punct are coordonatele 4 și 0.
Și trecem aceste puncte în același sistem de coordonate, unde am trasat și această dreaptă.
0 și minus 2.
Deci avem aici minus 1, aici este minus 2.
Acesta este punctul, primul punct.
4 și 0.
Deci trebuie să luăm acum 4.
Aici este 1, aici este 2, 3 și 4.
E mult mai simplu dacă am avea o foaie de matematică.
Dar ne descurcăm și așa.
Și acum dreapta care este determinată de aceste două puncte, iată este aceasta.
Dreapta de ecuație x minus 2y egal cu 4.
Cum sunt aceste două drepte?
Păi ele sunt drepte concurente.
Au un singur punct în comun și anume acesta.
Chiar putem să-l denumim punctul P.
Care sunt coordonatele acestui punct?
Păi de aici găsim că abscisa este 2.
Aici e 1, aici este 2.
Bine, desenul nu e chiar foarte exact.
Repet, dacă am avea pătrățele sau o foaie milimetrică, atunci am putea să facem un desen corect.
Și ordonata este minus 1.
Avem aici minus 1.
Deci punctul P are coordonatele 2 și minus 1.
Acest punct este singurul punct comun celor două drepte.
Păi ce înseamnă asta?
Înseamnă că aceste coordonate, această pereche de numere este singura care verifică în același timp aceste două ecuații.
Deci avem de fapt o singură soluție și anume x egal cu 2.
Aceasta este soluția sistemului și y egal cu minus 1.
Sunt singurele numere care verifică în același timp cele două ecuații.
Deci soluția este formată într-o singură pereche de numere și anume 2 și minus 1.
În concluzie, când avem două drepte concurente, atunci sistemul dat are o singură soluție.
Haideți să notăm.
Avem aici un sistem scris în forma generală.
Avem două ecuații cu două necunoscute.
Dacă notăm cu D-1 dreapta determinată de prima ecuație și cu D-2 dreapta determinată de cea de-a doua ecuație,
atunci dacă cele două drepte, D-1 și D-2, sunt drepte concurente, atunci înseamnă că sistemul are o singură soluție.
Și acesta este primul caz.
Dacă avem însă acest sistem,
minus 2X plus Y egal 3 și 2X minus Y egal 3,
dacă suntem atenți la ecuațiile date în acest sistem, putem să ne dăm seama foarte rapid de soluția sistemului.
Iată, prima ecuație o putem înmulți cu minus 1.
Și atunci, sistemul va fi echivalent cu
Vom avea aici minus 2 ori minus 1, adică 2 înmulțit cu X.
Plus înmulțit cu minus ne dă minus, și l-avem aici pe Y,
egal cu 3 ori minus 1, deci minus 3.
Și a doua ecuație o copiem, nu am făcut nicio modificare la ea,
și avem 2X minus Y egal cu 3.
Păi ce observăm?
Această diferență, 2X minus Y, poate în același timp să ne dea și minus 3 și 3?
Nu, asta înseamnă că nu există vreo pereche de numere reale X și Y,
care să verifice simultan ambele ecuații.
Deci, din start putem să scriem că soluția acestui sistem este mulțimea vida.
Dacă însă nu ne-am dat seama de acest lucru și vrem să rezolvăm sistemul folosind metoda grafică,
atunci cum vom face?
Păi, mai întâi trebuie să scriem,
de fapt trebuie să trasăm dreapta de ecuație minus 2X plus Y egal cu 3.
Și haideți să facem tabelul de valori.
Vom trece aici pe X și aici pe Y.
Și haideți să găsim punctele care se află la intersecția dintre dreaptă și axele de coordonate.
O să vedeți mai târziu de ce avem nevoie chiar de aceste puncte.
Pentru aceasta, cum vom face?
Păi, procedăm ca la funcții.
Îi dăm mai întâi lui X valoarea 0 și astfel vom obține un punct care se află pe OY,
iar apoi îi dăm lui Y valoarea 0 ca să obținem un punct care se află pe OX.
Dacă X este 0, atunci cu cât este Y egal?
Păi, ca să ne fie mai simplu, putem să-l scoatem pe Y din această relație
și vom obține că Y este 3 plus 2X.
Deci, dacă X este 0, Y va fi 3 adunat cu 2 ori 0, adică 3.
Trecem aici 3.
Dacă însă Y este egal cu 0, atunci ce rezultă?
Păi, în această relație, în loc de Y, trecem 0 și vom avea 0 egal cu 3 plus 2X.
Sau invers putem să scriem 3 adunat cu 2 ori X ne dă 0
și vom obține că X este minus 3 supra 2.
Deci, trecem aici minus 3 pe 2.
Ce puncte am obținut?
Avem așa coordonatele 0 și 3 și punctul de coordonate minus 3 pe 2 și 0.
Și să le trecem aici.
0 și 3.
Deci, vom trece 3 pe axa OY.
Avem 1, 2 și aici este 3.
Acesta este punctul minus 3 pe 2 și 0.
Deci, minus 3 pe 2.
Aici îl avem pe minus 1.
Aici este minus 2.
Deci, minus 3 pe 2 este aici.
Minus 3 pe 2 și trasăm punctul.
Acum, dreapta determinată de aceste două puncte este aceasta.
Dreapta de ecuație minus 2X plus Y egal 3.
Procedăm absolut la fel pentru dreapta de ecuație 2X minus Y egal cu 3.
La fel, facem tabelul de valori.
Îi vom da lui X două valori.
De fapt, o să alegem tot intersecția dintre dreaptă și axele de coordonate.
Deci, luăm pentru X valoarea 0 și apoi pentru Y tot valoarea 0.
Dacă X este 0, cât va fi Y?
Păi, haideți să le exprimăm pe Y de aici.
Y va fi 2X minus 3.
Dacă X este 0, trecem direct.
2 ori 0 minus 3 ne dă minus 3.
Și acum, dacă Y este 0, avem 0 egal cu 2X minus 3.
Deci, X va fi 3 supra 2.
Trecem aici 3 pe 2.
Și haideți să ștergem ce am notat aici sub Y.
Am obținut punctele de coordonate 0 minus 3 și 3 supra 2 și 0.
Și venim și le trecem.
0 și minus 3.
Avem aici minus 1, minus 2 și minus 3.
Vorbim de acest punct.
3 pe 2 și 0.
Aici este 1.
Aici este 2.
Deci, 3 pe 2 este aici.
Deci, avem acest punct.
Dreapta determinată de aceste două puncte este aceasta.
Cum sunt cele două drepte?
Dreptele par a fi paralele.
Însă, noi trebuie să demonstrăm că ele chiar sunt drepte paralele.
Dacă ele sunt drepte paralele, atunci e clar că nu avem niciun punct în comun.
Deci, soluția sistemului este într-adevăr mulțimea vidă.
Cum arătăm că aceste două drepte sunt drepte paralele?
Păi, mai întâi, haideți să facem următoarele notații.
Să notăm acest punct cu A, acesta cu B.
Iar aici să notăm C și aici cu D.
Să arătăm că dreapta B este paralelă cu dreapta CD.
Și vom șterge aici.
Cum sunt triunghiurile AOB?
Avem triunghiul AOB și triunghiul DOC.
Triunghiul AOB este un triunghi dreptunghic în O.
Triunghiul DOC este dreptunghic tot în O.
Deci, avem două triunghiuri dreptunghice.
Și ce observăm? Ce e foarte ușor de văzut?
Că lungimea segmentului AO are 3 unități de măsură, ca și lungimea segmentului OD.
Iar cateta OB are 3 supra 2 unități de măsură, ca și cateta OC.
Cu alte cuvinte, aceste două triunghiuri dreptunghice sunt congruente.
Notăm aici cazul cateta-cateta.
Din această cauza, am avut nevoie de intersecția dintre dreapta și axele de coordonate,
ca să găsim foarte ușor lungimea catetelor acestor două triunghiuri.
Bun, triunghiurile sunt congruente.
Ce înseamnă asta?
Să nu uităm că noi vrem să arătăm că dreapta AB este paralelă cu dreapta DC.
Păi, dacă triunghiurile sunt congruente înseamnă că acest unghi este congruent cu care unghi?
Păi, acest unghi se opune, este opus segmentului OB, care este congruent cu OC
și OC la rândul său se opune acestui unghi.
Deci, acest unghi e congruent cu acesta.
Notăm, rezultă că unghiul BAO este congruent cu unghiul CDO.
Atunci, dacă considerăm dreapta AB și dreapta CD și secanta dată de axa OY,
observăm că aceste două unghiuri, acesta și acesta, sunt unghiuri alterne interne.
Cum ele sunt și congruente, rezultă din teorema TH, teorema unghiurilor alterne interne,
că aceste două drepte, AB și CT, sunt drepte paralele.
Am arătat paralelismul acestor două drepte.
Cu alte cuvinte, ele nu au vreun punct în comun, deci soluția sistemului dat este mulțimea vidă.
Haideți să notăm acest lucru și acolo unde am scris teoria.
Deci, dacă dreptele sunt paralele, D1 paralel cu D2, atunci rezultă că sistemul nu are soluții.
Ultimul exemplu este acest sistem X plus Y egal 1 și 2X plus 2Y egal 2.
Dacă notăm cu D1 dreapta de ecuație X plus Y egal 1 și cu D2 dreapta de ecuație 2X plus 2Y egal 2,
ce putem spune despre aceste două drepte?
Păi iată că aici putem să împărțim această relație la 2 și sistemul va fi echivalent cu X plus Y egal 1,
iar aici, prin împărțire la 2, vom obține tot X plus Y egal 1.
Cu alte cuvinte, cele două drepte au de fapt aceeași ecuație.
Asta înseamnă că dreptele sunt cum? Sunt drepte suprapuse sau confundate.
Deci D1 egal cu D2.
Am pregătit aici și reprezentarea geometrică a dreptei care are ecuația X plus Y egal 1.
Observăm că aceste două drepte sunt drepte suprapuse.
Și atunci, în această situație, care este mulțimea soluției, mulțimea soluțiilor acestui sistem?
Păi fiecare punct, orice punct care se află pe această dreaptă, pe dreapta de ecuație X plus Y egal 1,
coordonatele sale verifică ambele ecuații.
Asta înseamnă că avem o infinitate de soluții, pentru că aici avem o infinitate de puncte.
Care este forma acestor coordonate?
De vreme ce ele verifică această ecuație X plus Y egal 1, atunci avem următoarea formă.
Dacă îi dăm lui X o valoare, data, să-i spunem alfa, deci alfa este un număr real, atunci cât este Y?
Păi Y va fi egal cu 1 minus X, iar X este alfa, deci avem 1 minus alfa.
Cu alte cuvinte, o soluție a acestui sistem are această formă alfa și 1 minus alfa.
Mulțimea soluțiilor, haideți să o notăm cu S mare, este formată din toate perechile de numere,
care arată astfel alfa și 1 minus alfa cu proprietatea că alfa este număr real.
Deci atunci când avem drepte suprapuse, avem o infinitate de soluții.
Să scriem acest lucru și acolo unde am trecut teoria.
Dacă dreptele sunt confundate, deci D indice 1 egal cu D indice 2, atunci sistemul are o infinitate de soluții.