Transcript: Reprezentarea geometrică a numerelor complexe

În această lecție vom discuta despre reprezentarea geometrică a numerelor complexe.
Cred că este important să avem și o imagine geometrică a noțiunilor algebrice prezentate în lecțiile trecute pentru o mai bună înțelegere a acestora.
Așa că în acest videoclip voi prezenta interpretarea geometrică a modulului unui număr complex și a operației de adunare,
apoi o să vedem interpretarea geometrică a numerelor complexe opuse și a operației de scădere,
iar la final vom vedea interpretarea geometrică a numerelor complexe conjugate.
Un număr complex Z având forma algebrică a plus bi este bine determinat dacă se cunoaște partea reală și partea imaginară.
Aceste numere, a și b, pot fi privite drept coordonatele unui punct M din plan în care a fixat sistemul de axe X, O, Y.
Partea reală se reprezintă pe axe OX, aceasta fiind de fapt axea numerelor reale, iar partea imaginară se reprezintă pe axe OY.
Această axe se mai numește și axe imaginară.
Fiecărui număr complex îi corespunde un unic punct M din plan, iar acest punct se numește imaginea geometrică a numărului complex Z.
Numărul complex Z se numește afixul punctului M.
Dacă unim punctele O și M, atunci segmentul OM poate fi privit ca vector de poziție al punctului M.
Dacă notezi proiecția punctului M pe axe OX cu A, se obține triunghiul dreptunghic OAM, având catetele cu lungimile a mic și b mic.
Dacă aplicăm Pitagora în acest triunghi dreptunghic, obținem că lungimea segmentului OM este radical din a pătrat plus b pătrat.
Dar această expresie este chiar modulul numărului complex Z.
Deci modulul numărului complex Z este de fapt lungimea segmentului OM.
Dacă la mulțimea numerelor reale modulul era distanța de la origine până la punctul corespunzător de pe axe OX,
la numere complexe modulul este distanța de la origine până la punctul corespunzător din plan.
Mai putem spune că modulul lui Z este modulul vectorului de poziție a imaginii geometrice al lui Z.
Discutăm în continuare despre interpretarea geometrică a sumei a două numere complexe.
Avem numărul complex Z1 cu forma algebrică a1 plus b1i și am notat cu m1 imaginea sa geometrică.
Atunci vectorul OM1 va fi vectorul de poziție având coordonatele a1, b1.
Avem apoi un alt număr complex Z2 și am notat cu m2 imaginea sa geometrică.
Atunci vectorul OM2 va avea coordonatele a2, b2.
Suma celor două numere complexe Z1 plus Z2 are forma algebrică a1 plus a2 plus b1 plus b2i.
a1 plus a2 este partea reală, iar b1 plus b2 este partea imaginară.
Ne propunem sa gasim imaginea geometrică a numarului complex Z1 plus Z2.
Pentru aceasta vom aduna vectorii OM1 și OM2 folosind rengula paralelogramului.
Vom duce așadar paralele la direcțiile celor doi vectori.
Voi nota cu m punctul astfel obținut, iar diagonala paralelogramului OM va fi suma celor doi vectori.
Așadar punctul m este imaginea geometrică a numarului complex Z1 plus Z2.
Am obținut așadar vectorul de poziție OM, iar OM va avea ca și coordonate a1 plus a2, respectiv b1 plus b2.
În consecință, imaginea geometrică a sumei Z1 plus Z2 este punctul m, unde OM este vectorul obținut prin rengula paralelogramului.
În continuare vom discuta despre interpretarea geometrică a opusului unui număr complex.
Avem un număr complex Z egal cu a plus bi și am notat cu m imaginea sa geometrică.
Opusul acestui număr complex este numărul notat minus Z, având forma algebrică minus a minus bi,
iar imaginea sa geometrică este un alt punct pe care l-am notat cu m prim, având ca și coordonate minus a minus b.
Remarcăm faptul că punctele m și m prim sunt simetrice față de originea O a sistemului de axe X, O, Y,
deoarece segmentele OM și OM prim au aceeași lungime.
Așadar să reținem că imaginele geometrice a două numere complexe opuse sunt puncte simetrice față de originea O a sistemului de axe X, O, Y.
Pentru a vedea imaginea geometrică a diferenței a două numere complexe, vom considera această operație ca fiind o adunare cu numărul complex opus.
Iată, avem numărul complex Z1, egal cu a1 plus b1i, și am notat cu a, imaginea sa geometrică.
Avem apoi un alt număr complex Z2, egal cu a2 plus b2i, și am notat cu b, imaginea sa geometrică.
Am construit de asemenea imaginea geometrică a opusului numărului complex Z2, avem așadar punctul C, având coordonatele minus a2 minus b2.
Așa cum spuneam mai devreme, vom considera operația de scădere ca fiind o adunare cu numărul complex opus.
Deci Z1 minus Z2 se poate scrie Z1 adunat cu minus Z2.
Pentru a obține imaginea geometrică a acestui număr complex, voi construi mai întâi vectorii de poziție OA, OB și OC.
Punctele B și C sunt simetrice față de punctul O, deoarece acestea sunt imaginile geometrice ale unor numere complexe opuse.
Noi trebuie să adunăm vectorii OA și OC.
Voi folosi din nou regula paralelogramului.
Voi duce paralele la direcțiile celor doi vectori.
Notez cu D punctul astfel obținut, iar diagonala paralelogramului OD va fi suma celor doi vectori OA și OC.
Așadar punctul D este imaginea geometrică a numărului complex Z1 minus Z2.
Să scriem și aici că acestui număr complex Z1 minus Z2 îi va corespunde punctul D.
Acesta va avea coordonatele A1 minus A2, respectiv B1 minus B2.
Dar OD este egal cu modul din Z1 minus Z2.
Am văzut mai devreme, când am discutat despre interpretarea geometrică a modulului,
că modulul unui număr complex este distanța de la origine până la imaginea asta geometrică.
Așadar OD este modul din Z1 minus Z2.
Însă OD are aceeași lungime cu AB, pentru că ODAB este paralelogram.
Putem să scriem așadar că OD este egal cu AB.
Din aceste două relații va rezulta că AB este egal cu modul din Z1 minus Z2.
În concluzie, dacă A și B sunt două puncte din plan, atunci lungimea segmentului AB este egală cu modul din Z1 minus Z2.
La final, aș vrea să mai vedem și interpretarea geometrică a numerelor complexe conjugate.
Dacă Z este egal cu A plus BI și A mare este imaginea sa geometrică,
atunci Z conjugat va avea forma algebrică A minus BI și am notat imaginea sa geometrică cu B.
Putem observa că punctele A și B sunt simetrice față de axa OX.
În consecință, să reținem că imaginele geometrice ale numerelor complexe conjugate sunt puncte simetrice față de axa OX.
În clipul următor vom face câteva exerciții.