Transcript: Relații între mulțimi. Submulțimi

Să vedem acum ce relații se pot stabili între mulțimi și ce este aceea o submulțime.
Păi dacă avem, de exemplu, aceste două mulțimi, mulțimea A e formată din elementele, avem o minge de ping pong, un fluturaj de badminton, o minge de basket și o minge de volley.
Mulțimea B observăm că, de fapt, are aceleași elemente, nu contează ordinea de așezare a lor.
Păi când avem două mulțimi care au aceleași elemente, spunem că cele două mulțimi sunt egale.
Deci putem să notăm că mulțimea A este egală cu mulțimea B.
Un alt exemplu, să luăm acum mulțimea C care este formată din elementele 2, 9, 5 și 4
și mulțimea D care are ca elemente numerele 3, 2, 5 și 9.
Putem spune că cele două mulțimi sunt egale?
Păi au ele aceleași elemente?
Iată că, de fapt, aici avem numărul 4, elementul reprezentat de numărul 4 care nu se regăsește în mulțimea D sau invers.
Aici avem numărul 3 care nu face parte din mulțimea C.
Asta înseamnă că cele două mulțimi C și D nu sunt mulțime egale și spunem că ele sunt diferite.
Deci mulțimea C este diferită de mulțimea D.
Acum, între două mulțimi, în afară de egal și diferit, se mai pot stabili și alte relații.
Dacă avem mulțimile M formată din elementele și avem aici 1, 2, 5
și mulțimea, să o notăm cu P, formată din elementele 5, 0, 1 și 2.
Ce observăm în legătură cu mulțimea M față de mulțimea P?
Vă las puțin timp să vă gândiți.
Păi, toate elementele din mulțimea M se regăsesc în mulțimea P.
Iată, primul element reprezentat de numărul 1 îl regăsim și aici.
5 îl regăsim și pe el în mulțimea P.
La fel se întâmplă și cu elementul reprezentat de numărul 2.
Dacă vreți, putem să facem și o diagramă ca să fie mai clar.
De exemplu, avem aici mulțimea M care conține elementele 1, 2 și 5.
Deci aceasta este mulțimea M.
Și mulțimea P care pe lângă aceste elemente 1, 2 și 5 mai conține și elementul 0.
Deci aici avem mulțimea P.
Păi e clar că această mulțime P conține sau înghite, să spunem așa, toată mulțimea M.
Ei bine, când se întâmplă acest lucru, spunem că mulțimea M, haideți să notăm aici,
mulțimea M este inclusă în mulțimea P.
Și notăm cu acest C turtit și citim inclusă în mulțimea P.
Deci mulțimea M inclusă în mulțimea P.
Putem să scriem și invers.
Deci atenție când avem această notație, deschiderea semnului trebuie să fie spre mulțimea care conține mulțimea din stânga.
Dacă vrem să scriem invers, adică trecem mai întâi mulțimea P și apoi mulțimea M,
înseamnă că trebuie să scriem invers și acest semn, astfel încât deschiderea să se păstreze tot către P.
Deci vom trece așa.
Cum citim? Citim că mulțimea P include mulțimea M.
Deci aici avem inclusă și aici avem include mulțimea M.
Bun, în aceste situații, haideți să notăm ce avem aici.
În aceste situații când o mulțime este inclusă într-o altă mulțime, spunem că această mulțime se numește submulțime a mulțimii care o conține.
Aici n-am scris submulțime, deci submulțime.
Adică mulțimea M este o submulțime a mulțimii P.
Un alt exemplu, dacă avem această mulțime, X cu proprietatea că X este pescăruși de pe Terra.
Cu alte cuvinte, această mulțime reprezintă mulțimea tuturor pescărușilor de pe planeta noastră.
În ce legătură este cu această mulțime?
X cu proprietatea că X este pasăre de pe Terra.
Mulțimea pescărușilor de pe Terra este inclusă în mulțimea păsărilor de pe Terra.
Deci și aici avem o submulțime.
Haideți să mai facem încă un exemplu ca să lucrăm cu aceste notații.
Avem mulțimea A care este alcătuită din elementele 5, 9, a mic, 11 și o altă literă, de exemplu C mic.
Deci avem o mulțime formată și din numere și din litere.
Mulțimea B mare este formată din elementele 5 și a mic și mulțimea C mare este formată din elementele a mic, 9, 5 și o altă literă, b mic.
Ce relație există între mulțimea A și mulțimea B?
Sau poate că e mai simplu să scriem invers între mulțimea B și mulțimea A.
Mulțimea B conține elementele 5 și a mic și observăm că aceste două elemente le regăsim și în mulțimea A mare.
Cum orice element din mulțimea B se regăsește în mulțimea A înseamnă că mulțimea B este inclusă în mulțimea A.
Dacă am scris invers, spunem că A include mulțimea B.
Acum, ce relație există între mulțimea C și A?
Să notăm aici, deci între C și A.
Haide să ștergem mai întâi ca să nu ne încurcăm în ce am subliniat și să vedem.
Mulțimea C are elementele A mic.
Iată, îl găsim și aici.
9 este și în mulțimea A mare.
5 îl regăsim și pe el.
Însă, observăm că mai avem aici elementul B mic care nu se regăsește în mulțimea A.
Ce înseamnă asta? Mulțimea C este inclusă în mulțimea A?
Nu, pentru că nu este conținută în totalitate de mulțimea A.
Atunci, spunem că C nu este inclusă în mulțimea A și acest semn îl tăiem cu o linie.
Deci citim C nu e inclusă în mulțimea A.
Haideți să mutăm puțin mai la stânga.
Dacă vrem să scriem invers, adică întâi mulțimea A și apoi mulțimea C,
păi vom inversa acest semn.
A nu include mulțimea C.
Deci citim A nu include mulțimea C.
Bun.
Ce relații există acum între mulțimea B și C?
Deci B și C.
Din nou o șterge aici.
Ce elemente sunt în mulțimea B?
Păi avem 5 și A pe care observăm că le regăsim în mulțimea C.
Deci spunem că B este inclusă în C.
Sau invers, mulțimea C include mulțimea B.
Cu alte cuvinte.
Putem să notăm că mulțimea B este o submulțime.
Deci B este o submulțime a mulțimii C.
Și tot așa B este submulțime și a cărei mulțimi?
A mulțimii A.
Deci a lui A.
Iată că B este submulțime și pentru și a lui A și a lui C.
Să facem acum și două observații.
Prima observație.
Haideți să notăm aici observații.
Mulțimea vida este inclusă în orice mulțime.
Deci este inclusă în mulțimea M oricare ar fi M mulțime.
Deci putem să spunem că mulțimea vida este submulțime a oricărei mulțimi.
Mulțimea vida este mulțimea prin această notație.
Cea de-a doua observație se referă la o diferență de notație.
Și anume când vorbim de inclusiune folosim fie acest semn fie acesta inclus și sub el mai avem o liniuță.
Aici haideți să dăm un exemplu când folosim acest semn.
Păi mulțimea 1, 2 este inclusă în mulțimea 1, 2, 7.
Deci folosim acest semn atunci când toate elementele acestei mulțimi sunt conținute în această mulțime
și atenție cele două mulțimi nu sunt egale.
Deci mulțimea formată din elementele 1, 2 este diferită de mulțimea formată din elementele 1, 2, 7.
Clar că ele nu sunt egale.
Aici citim inclus sau egal.
Acest semn îl putem folosi și în această situație.
Deci putem să spunem că mulțimea 1, 2 formată din elementele 1, 2 este inclusă sau egală cu mulțimea formată din elementele 1, 2, 7.
Însă dacă avem acest exemplu mulțimea formată din elementele 1, 2 este inclusă sau egală cu mulțimea formată din aceleași elemente 1, 2.
Deci în situația în care cele două mulțimi sunt egale, cum avem aici,
deci aceste două mulțimi sunt de fapt egale, atunci nu folosim acest semn, ci îl vom folosi pe acesta inclus sau egal.
Asta ne arată faptul că mulțimea formată din elementele 1, 2 poate fi privită ca o submulțime a aceleași mulțimi formată din aceleași elemente.
Deci folosim acest semn, îl putem folosi întotdeauna și în această situație și în aceasta când avem mulțime egale,
însă pe acesta nu îl folosim, deci nu îl folosim în situația în care mulțimile sunt egale.
Haideți să facem acum o recapitulare ca să nu ne încurcăm în notații.
Între un element și o mulțime avem doar relație de apartenență, deci un element poate să aparțină unei mulțimi sau poate să nu aparțină unei mulțimi.
Între două mulțimi însă nu mai avem relație de apartenență ca aici, ci avem relație de incluziune, deci o mulțime este inclusă într-o altă mulțime sau poate să nu fie inclusă
sau avem și varianta include pe sau nu include pe, putem să avem mulțimi egale sau mulțimi diferite.
Deci, între două mulțimi nu scriem relație de apartenență, ci de incluziune sau una din aceste variante.
Și haideți să dăm un exemplu.
Elementul 3 aparține oare acestei mulțimi formată din elementele 3, 6 și 8? Sigur.
Deci avem 3 aparține acestei mulțimi, dar elementul 7 aparține el aceleași mulțimi formată din aceste elemente?
Păi 7 nu aparține acestei mulțimi.
Dacă avem însă această scriere, ce am notat aici?
Păi avem mulțimea formată din elementul 3 și aici avem aceeași mulțime, cam mai sus.
Ce notăm? Notăm faptul că această mulțime aparține acesteia? Nu.
Această mulțime este inclusă în aceasta pentru că elementul 3 se regăsește printre elementele acestei mulțimi.
Mulțimea formată din elementul 7 acum este oare inclusă în această mulțime?
Păi 7 nu se regăsește printre aceste elemente, deci această mulțime nu este inclusă în aceasta.
Deci haideți să ne fie foarte clar că atunci când vorbim de relații între un element și o mulțime, avem doar aparține sau nu aparține.
Între două mulțimi însă putem să avem una din aceste variante.
Și acum haideți să facem un ultim exercițiu în care să folosim toate aceste notații.
Am rescris notațiile, nu le vom folosi chiar pe toate.
Haideți să vedem să completăm pentru primul exercițiu.
4 puncte puncte și ni se da aici mulțimea formată din elementele 5, 4, 0.
Ce avem aici? Păi avem un element și aici o mulțime.
Deci putem să alegem între aparține sau nu aparține.
Cum elementul 4 se regăsește în mulțime înseamnă că 4 aparține acestei mulțimi.
Alt exemplu.
Ce am notat aici? Avem mulțimea formată din elementul 4.
Și aici avem o altă mulțime, aceeași ca mai sus.
Păi avem acum două mulțimi.
Cum acest element se regăsește în această mulțime înseamnă că vom spune că prima mulțime este inclusă,
deci vorbim de relații între două mulțimi, este inclusă în cea de-a doua.
Altă situație.
5 și să luăm aici mulțimea formată din elementele 2, 1 și 3.
Păi avem un element și o mulțime, deci alegem dintre aceste două semne.
5 se regăsește printre elementele acestei mulțimi? Nu.
Deci 5 nu aparține acestei mulțimi.
Alt exemplu.
Avem aici mulțimea formată din elementul 0 și aici mulțimea formată din elementele 5, 4 și 0.
Păi din nou avem o relație între două mulțimi, 0 se regăsește și aici, deci avem relație de incluziune.
Mulțimea formată din elementele 2, 1, 3 și aici avem mulțimea formată din elementele 1 și 2.
Păi această mulțime conține elementele acestei mulțimi.
Cum notăm? Înseamnă că această mulțime include mulțimea formată din elementele 1 și 2.
Deci deschiderea semnului este către mulțimea care conține mulțimea trecută aici în dreapta.
Încă un exemplu. Mulțimea vidă și avem aici mulțimea formată din elementul 0.
Ce vom trece între cele două mulțimi?
Păi putem noi oare să trecem egalitate?
Mulțimea vidă este mulțimea care nu are niciun element, însă aici avem o mulțime care are un element.
Nu contează că el este 0.
Deci aceste două mulțimi nu pot fi egale.
Ce putem însă să spunem întotdeauna despre mulțimea vidă?
Că ea este inclusă în orice mulțime.
Și să mai luăm încă un exemplu.
Mulțimea formată din elementele 5, 4 și 0 și mulțimea formată din elementele 4, 0 și 5.
Noi avem aceleași elemente, înseamnă că vorbim de mulțimi egale.
Cu acest exercițiu am încheiat.
Sper că s-a înțeles modul de folosire al acestor semne.