Transcript: Relații între funcții trigonometrice ale unui unghi

În această lecție o să deducem formula fundamentală a trigonometriei, apoi o să vedem câteva formule trigonometrice pentru unghiurile complementare,
urmând ca în partea a doua clipului să demonstrăm câteva relații între funcțiile trigonometrice ale unui unghi.
Avem triunghiul dreptunghi ca ABC și am notat măsura unghiului B cu X.
Atunci o să avem sinus de X este egal cu B supra A, raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, cosinus de X este C supra A,
tangentă de X este B supra C, iar cotangentă de X este C supra B.
Dacă ridicăm la pătrat primele două relații și le însumăm, o să obținem ca sinus pătrat de X plus cosinus pătrat de X este egal cu B supra A totul la pătrat plus C supra A totul la pătrat.
Egal mai departe cu B pătrat plus C pătrat supra A pătrat, dar B pătrat plus C pătrat este egal cu A la pătrat, conform teoremelui Pitagora.
Acum se simplifică A pătrat cu A pătrat și ne rămâne 1.
Așadar, am obținut relația sinus pătrat de X plus cosinus pătrat de X este egal cu 1, iar aceasta este formula fundamentală a trigonometriei.
Să vedem în continuare câteva formule trigonometrice pentru unghiurile complementare.
Observăm că unghiurile B și C sunt complementare, deci măsura unghiului B plus măsura unghiului C este egală cu pi supra 2 radiani.
De aici obținem că C este egal cu pi supra 2 minus X.
Sinusul unghiului C este cateta opusă supraipotenuză, adică C supra A, dar C supra A este cosinus de X.
Prin urmare, sinus de pi supra 2 minus X va fi egal cu cosinus de X.
Dacă vrem să exprimăm acum cosinusul unghiului C, acesta va fi egal cu B supra A, dar B supra A este sinus de X.
Prin urmare, cosinus de pi supra 2 minus X va fi egal cu sinus de X.
Aceste formule sunt valabile pentru orice X număr real.
De asemenea, putem să exprimăm și tangenta sau cotangenta unghiului C.
Tangenta unghiului C va fi raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată unghiului C, adică o să avem C supra B.
Deci, tangenta de C este egal cu C supra B, dar C supra B este cotangenta de X.
Prin urmare, tangenta de pi supra 2 minus X este egal cu cotangenta de X.
De asemenea, putem exprima și cotangenta unghiului C.
De asemenea, vom obține B supra C, iar B supra C este tangenta de X.
Așadar, cotangenta de pi supra 2 minus X este egal cu tangenta de X.
Prima relație are loc pentru orice X real diferit de kpi, deci fără multiplii între ești de pi,
iar a doua relație are loc pentru orice X real, dar X trebuie să fie diferit de 2k plus 1 pi supra 2.
Tangentea există atunci când X ea valori reale, dar fără multiplii impari de pi supra 2.
Acestea sunt formulele trigonometrice pentru unghiurile complementare, pe care este bine să le rețineți.
Iar în continuare o să stabilim câteva relații între funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi.
Vă știți deja că tangenta de X este sinus de X supra cosinus de X?
Cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.
Și atunci putem să deducem că tangentă de X este 1 supra cotangentă, iar cotangentă de X va fi egal cu 1 supra tangentă de X.
În continuare ne propunem să găsim câteva formule pentru a exprima sinus de X în funcție de cosinus, tangentă și cotangentă.
Vor fi exerciții în care ni se dă, de exemplu, tangenta unui unghi și trebuie să aflăm sinusul.
Apoi vom stabili câteva formule pentru a exprima cosinus în funcție de sinus, tangentă și cotangentă.
Apoi tangenta în funcție de sinus, cosinus și cotangentă.
Și cotangenta de X în funcție de sinus, cosinus și tangentă de X.
Pentru a exprima sinus de X în funcție de cosinus, o să pornim de la formula fundamentală a trigonometriei.
Știm că sinus pătrat de X plus cosinus pătrat de X este egal cu 1.
Atunci sinus pătrat de X va fi egal cu 1 minus cosinus pătrat de X.
Deci sinus de X este egal cu radical din 1 minus cos pătrat de X.
Însă această valoare poate să fie pozitivă sau negativă în funcție de cadranul în care este situat unghiul X.
Iată, am stabilit o formulă prin care putem să exprimăm sinusul unui unghi în funcție de cosinus.
În continuare vom deduce o formulă pentru a scrie sinusul în funcție de tangentă.
Iar pentru aceasta pornim de la această relație scrisă mai sus.
Avem că tangentă de X este egal cu sinus de X supra cosinus de X.
Ridicăm la pătrat această relație și avem tangentă pătrată de X egal cu sin pătrat de X.
Iar în loc de cosinus pătrat de X putem să scriem 1 minus sinus pătrat de X.
Acum înmulțim pe diagonală și avem tangentă pătrată de X minus tangentă pătrată de X ori sinus pătrat de X egal cu sinus pătrat de X.
Tangentă pătrată de X va fi egal cu sinus pătrat de X pe lângă 1 plus tangentă pătrată de X.
Am trecut termenul acesta în membrul drept și am dat factor comun pe sinus pătrat de X.
De aici putem deduce că sinus de X este radical din tangentă pătrată de X adică tangentă de X supra radical din 1 plus tangentă pătrată de X.
În fața radicalului putem să avem plus sau minus în funcție de cadranul în care este situat unghiul X.
Iată că am găsit și o formulă prin care putem să exprimăm sinusul unui unghi în funcție de tangentă.
Și acum vom stabili o relație prin care putem să exprimăm sinus în funcție de cotangenta unui unghi.
O să șterg aici.
Pornim de la această relație scrisă mai sus.
Cotangentă de X este cosinus supra sinus.
Ridicăm la pătrat această egalitate și avem cotangentă pătrată de X egal cu cos pătrat de X supra sin pătrat de X.
Vrem să scriem sinusul în funcție de cotangentă.
Deci la numărător, în loc de cosinus pătrat de X vom scrie 1 minus sin pătrat de X
supra sinus pătrat de X.
Înmulțim pe diagonală.
Avem cotangentă pătrată de X ori.
Sinus pătrat de X egal cu 1 minus sinus pătrat de X.
Trec termenul acesta în membrul stâng și apoi îl dăm factor comun.
Și avem sin pătrat de X pe lângă cotangentă pătrată de X plus 1 este egal cu 1.
De aici exprimăm sinus de X.
O să avem sin de X egal cu 1 supra plus minus radical din 1 plus cotangentă pătrată de X.
Iată am găsit și o relație prin care putem să exprimăm sinusul în funcție de cotangentă.
Pentru a exprima cosinus în funcție de sinus tangentă și cotangentă se procedează în mod analog.
Așa că nu o să mai fac și aceste calcule.
Trecem la tangentă în funcție de sinus.
Știm că tangenta este raportul dintre sinus și cosinus.
Și avem tangentă de X egal cu sinus de X supra.
În loc de cosinus avem plus minus radical din 1 minus sin pătrat de X.
Aceasta va fi formula prin care putem să exprimăm tangenta în funcție de sinusul unui unghi.
Pentru a exprima tangenta în funcție de cosinus vom înlocui sinusul de la numărător.
Deci avem tangentă de X egal.
În loc de sinus de X avem plus minus radical din 1 minus cos pătrat de X supra cosinus de X.
Aceasta va fi formula prin care exprimăm tangenta în funcție de cosinus.
Iar tangenta în funcție de cotangentă am văzut mai devreme.
Avem tangentă de X egal 1 supra cotangentă de X.
Pentru a deduce formulele prin care se exprimă cotangenta în funcție de sinus, cosinus și tangentă
se procedează în mod analog.
Așa că nu o să mai insist și cu aceste calcule.
În continuare am scris aceste formule sub forma unui tabel pe care este bine să îl rețineți.
Dacă totuși nu reușiți să memorați aceste formule,
atunci ele se pot deduce urmând pașii pe care i-am prezentat în acest clip.
Să vă mulțumim pentru vizionare.