Transcript: Relația de paralelism. Teorema de tranzitivitate a relației de paralelism în spațiu

Să discutăm puțin despre relația de paralelism în spațiu și vom învăța teorema de tranzitivitate a relației de paralelism.
Să ne amintim pe scurt ce înțelegem prin drepte paralele.
Două drepte sunt paralele dacă sunt coplanare și nu au puncte comune.
Deci, ca să vorbim de drepte paralele, este nevoie ca ele să fie coplanare și să nu aibă vreun punct în comun.
O teoremă foarte importantă legată de dreptele paralele este aceasta.
Două drepte paralele determine un plan unic și am demonstrat această teoremă într-o altă lecție.
Acum vom învăța încă o teoremă și anume teorema de tranzitivitate a relației de paralelism care ne spune că
dacă două drepte distincte sunt paralele cu a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele între ele.
Prin urmare, dacă avem două drepte distincte, deci a și b sunt două drepte diferite,
dacă ele sunt paralele cu a treia dreaptă, deci dreapta a este paralela cu o dreaptă, o notăm c,
iar dreapta b este și a paralela la rândul ei, tot cu c, atunci, conform acestei teoreme de tranzitivitate, ce rezultă?
Păi, de vreme ce a e paralela cu c și b e paralela tot cu c, înseamnă că a și b sunt drepte paralele.
A paralela cu b.
Atenție, această teoremă are loc și în plan.
Noi așa o cunoșteam până în acest moment, atunci când dreptele a, b și c erau toate incluse în același plan.
Ce ne spune acum această teoremă este faptul că relația de tranzitivitate a paralelismului se păstrează și în spațiu,
deci nu e neapărat ca cele trei drepte, a, b și c, să fie toate incluse în același plan.
Și haideți să ne uităm la acest desen.
Iată, dreapta a și c sunt incluse în acest plan, iar dreapta b face parte dintr-un alt plan, din acesta,
deci dreapta b nu este conținută în planul determinat de dreptele a și c.
Chiar și așa, relația de paralelism se păstrează.
Dacă a este paralela cu c, iar c este paralela cu b, atunci obținem că a este paralela cu b.
Și acum haideți să facem o aplicație.
În piramida triunghiulară V, A, B, C se consideră D, E, M și N mijloacele muchii lor V, A, V, B, A, C și B, C.
Să arătăm că D, E și M, N determină un plan.
Deci haideți să facem desenul.
În piramida triunghiulară de aici se consideră că D este mijlocul muchii V, A,
deci ducem aici punctul D care se află la mijlocul distanței dintre vârfule V și A,
E este mijlocul muchii V, B, deci trecem aici E,
M este mijlocul muchii A, C, A, C este aici, deci trecem M aici,
și în final N este mijlocul muchii B, C, deci N îl trecem aici.
Și vrem să arătăm că D, E, deci haideți să vedem, D, E este acesta,
deci că dreapta D și M, N, să o trasăm și pe M, N și o vom trasa punctat,
trebuie să arătăm că aceste două drepte determină un plan.
Păi când două drepte determină un plan, când ele sunt fie concurente, fie paralele,
și e ușor de văzut că aceste drepte para a fi mai degrabă paralele decât concurente,
deci să vedem dacă putem să arătăm că într-adevăr D, E și M, N sunt paralele.
În primul rând, ce știm despre punctele D și E?
Păi D este mijlocul muchii V, A, deci V, D este egal cu D, A,
E este mijlocul acestei muchii, deci V, E este egal cu E, B,
prin urmare, dacă ne uităm la triunghiu A, V, B, ce este D, E în acest triunghi?
Peste linie mijlocie, asta înseamnă că D, E cum este?
Paralelă cu A, B, deci haideți să notăm că V, D este egal cu D, A,
sau putem să trecem congruent, dar dacă ne referim la lungimile lor, putem să lăsăm egal cu D, A,
V, E este egal cu E, B și atunci rezultă că D, E este linie mijlocie
în ce triunghi?
În triunghiul A, V, B.
De aici rezultă că D, E este paralelă cu A, B, nu ne interesează lungimea segmentului D, E,
deci nu ne interesează că D, E are lungimea egală cu jumătate din lungimea segmentului A, B,
ne interesează această relație.
Păi ce facem în continuare? Exact același lucru îl vom face și în triunghiul A, C, B
pentru segmentul E, M, N, de fapt E, M, N este linie mijlocie în acest triunghi,
deci să notăm că analog rezultă că E, M, N este linie, chiar o să copiem,
este linie mijlocie în, așa, în ce triunghi? Avem în triunghiul A, C, B,
de unde rezultă că M, N este paralelă și ea la rândul său cu A, B.
Păi ce rezultă din aceste două relații? Iată-le și încadrăm relația numărul 1
și avem aici relația numărul 2. Ce rezultă din cele două relații?
Păi D este paralelă cu A, B și M, N este și ea paralelă tot cu A, B.
Deci din relațiile, chiar o să facem așa un rezultă mai mare, din relațiile 1 și 2
și din teorema de tranzitivitate rezultă că D și M, N sunt drepte paralele.
D este paralelă cu M, N. Bun, însă noi nu aveam de arătat acest lucru și voiam să arătăm
că ele determină un plan. Păi din prima teoremă pe care am reamintit-o în această lecție,
știm că două drepte determină un plan unic, deci avem, putem să notăm așa,
avem planul determinat de aceste două drepte, pentru că sunt două drepte paralele
și notăm planul determinat de dreptele D și M, N. Și s-a încheiat.