Transcript: Reguli de calcul cu puteri

Să vedem acum care sunt regulile de calcul cu puteri și, mai înainte, haideți să vedem ce este aceea o putere, să ne reamintim.
Avem aici un exemplu, 2 la 5-a. Ce înseamnă asta? Înseamnă că trebuie să avem un produs de 5 factori, toți egali cu 2.
Deci, avem 2 înmulțit cu 2, înmulțit cu 2, înmulțit cu 2, trebuie să scriem pe 2 de 5 ori, am scris de 4 ori, mai scriem încă o dată.
Bun, cât obținem? Pe aici avem 4 și aici 4, 4 ori 4 ne dă 16, ori 2 ne dă 32. Foarte mare atenție acum, să nu fim tentați să spunem că 2 la 5-a ne dă 2 ori 5,
pentru că aici nu avem produsul 2 ori 5, 2 la 5-a ne dă 32, în timp ce 2 ori 5 ne dă 10, deci clar vorbim de numere diferite.
Bun, ne-am amintit cum se calculează o putere, ce denumiri folosim. Iată, 2 poartă numele de bază, deci ce apare jos se numește bază, în timp ce numărul care este scris deasupra și este mai mic se numește exponent.
Și acum, haideți să descoperim gradat, să găsim regulile de calcul cu puteri și începem de la un exemplu. Vrem să scriem ca o singură putere acest produs 3 la a 2-a înmulțit cu 3 la a 5-a.
Bun, atunci haideți să calculăm. Deci, 3 la a 2-a înmulțit cu 3 la a 5-a. Ce vom face? Păi, 3 la a 2-a înseamnă că trebuie să ne apară factorul 3 scris de 2 ori, deci notăm 3 înmulțit cu 3.
Înmulțit mai departe, voi îngroșa și acest punct aici, cu 3 la a 5-a, deci scriem acum pe 3 de 5 ori. Avem 3 ori 3 ori 3 ori 3, l-am scris de 1, 2, 3, 4 ori, înmulțit cu 3.
Și acum hai să facem calculul. Ce obținem? Păi, observăm că peste tot avem factori. Câți factori sunt? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Deci avem 7 factori, toți egal cu 3. Păi, de fapt, avem puterea 3 la a 7-a.
Acum, de unde l-am obținut exponentul 7? Păi, iată, avem aici 2 factori, amândoi egal cu 3, iar aici avem 5 factori, toți egal cu 3. Păi, de fapt, 2 factori adunat cu 5 factori ne dă 7 factori.
Cu alte cuvinte, pe 7 l-am obținut, de fapt, din suma 2 plus 5, deci avem 3 la exponentul acesta, 2 plus 5, adică am adunat, de fapt, exponenții.
Care e regula, prin urmare? Când trebuie să înmulțim două sau mai multe puteri care au aceeași bază, scriem baza, deci copiem baza și adunăm exponenții, 2 plus 5 și rezultatul este 3 la a 7-a.
Haideți să facem și alte exemple. Să calculăm acum 5 sau haideți să facem ceva mai simplu, 2 la a 2-a înmulțit cu 2 la a 3-a ori 2 la a 8-a.
Bun, deci factorul 2 trebuie să ne apară de două ori și avem așa, 2 înmulțit cu 2, înmulțit mai departe cu, deci înmulțit, factorul 2 îl scriem acum de 3 ori, deci avem 2 ori 2 ori 2, înmulțit cu, deci trecem înmulțit cu, trebuie să avem un produs de 8 factori egal cu 2 acum.
Deci, îl scriem pe 2 de 8-ori, odată, de 2 ori, de 3 ori, de 4 ori, de 5 ori, de 6 ori, de 7 ori, de 8-ori, da, iată, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Și să vedem cât vom obține. Păi aici avem 2 factori, aici avem 3 factori, iar aici am notat 8 factori, toți egal cu 2.
Care este baza acestei puteri? Este clar că este 2. Și ce trecem la exponent? Păi avem 2 factori cu 3 factori cu 8 factori, deci în total 2 plus 3 plus 8, cu alte cuvinte, am adunat, de fapt, acești exponenți.
Și obținem așa, 2 la 2, haideți să scriem baza, 2 cu 3 ne dă 5, cu 8, 13, deci 2 la puterea 13, la exponentul 13.
Încă un exemplu, 5 înmulțit cu 5 la a noua, înmulțit cu 5 la a doua, ori 5 la a treia. Este egal cu.
Bun, acum avem aici trecut pe 5, cum îl putem scrie ca o putere? Păi întotdeauna orice număr poate fi scris ca o putere cu exponentul 1, 5 la a întâia înseamnă, de fapt, 5.
Cum avem aici produse de puteri care au toate aceeași bază, atunci copiem baza și adunăm exponenții 1 plus 9 plus 2 plus 3 și vom obține 5 la, aici obținem 10 cu 5, adică 15, 5 la puterea la exponentul 15.
Dacă ar fi să scriem și o regulă, când înmulțim două sau mai multe puteri care au aceeași bază, deci a la m înmulțit cu a la n, putem avea produse de oricât de multe puteri dorim condiția ca ele să aibă aceeași bază, atunci ce facem?
Copiem baza și adunăm exponenții m plus n. Aceasta este regula care ne va ajuta foarte mult în calcule atunci când vorbim de produse de puteri cu aceeași bază.
Pentru următoarea regulă de calcul, haideți să începem de la această împărțire, 2 la 5 a împărțit la 2 la a doua și vrem să scriem ca o singură putere rezultatul acestei împărțiri.
Deci avem așa, 2 la 5 a împărțit la 2 la a doua și să calculăm, 2 la 5 a înseamnă că avem 5 factori toți egali cu 2, deci 2 ori 2 ori 2 ori 2 ori 2, l-am scris pe 2 de 5 ori împărțit la 2 la a doua, adică împărțit la produsul 2 ori 2.
Am scris corect? Nu.
De ce nu am notat corect aici?
Pentru că lăsând scrierea așa se înțelege că acest produs se împarte la 2 iar rezultatul se mulțește apoi cu 2, ceea ce este fals.
Pentru că, iată, acest produs care înseamnă 2 la a 5-a se împarte de fapt la 2 la a doua, adică la produsul 2 ori 2, deci ce trebuie să trecem?
Trebuie să trecem aici paranteze.
Aici nu e neapărat nevoie să trecem vreo paranteză, însă noi știm că înmulțirea este asociativă, deci putem să grupăm factorii după cum dorim.
Cum ar fi mai ușor să îi grupăm?
Păi am putea, de exemplu, să îi grupăm pe aceștia doi.
Pentru că având aici un produs urmat de o împărțire, putem să facem mai întâi împărțirea.
Și e ușor să facem această împărțire?
Sigur, avem un număr împărțit la el însuși, că avem aici 4 împărțit la 4, deci ne dă 1.
Cât vom obține?
Păi avem 2 înmulțit cu 2, înmulțit cu 2, înmulțit cu acest rezultat care ne-a dat 1.
Știm că numărul 1 nu influențează produsul, deci chiar putem să-l ștergem.
Și ce avem la rezultat?
Avem 2 x 2 x 2, adică 2 la a 3-a.
Cum am obținut exponentul 3?
Păi iată, am avut aici 5 factori, aici am avut 2 factori și ne-au rămas, de fapt, 3 factori.
Cu alte cuvinte, 3 se obține, de fapt, din diferența 5 minus 2.
Iată, 5 minus 2.
Care ar fi regula atunci?
Când împărțim două puteri, două sau mai multe puteri, care au aceeași bază, copiem baza și scădem exponenții, 5 minus 2.
Și am obținut 2 la exponentul 3.
Haideți acum să facem alte exemple.
Să calculăm 3 la a 4-a împărțit la 3 la a 3-a.
Evident că putem să calculăm prin diferite moduri.
Haideți să vedem cum e mai simplu.
3 la a 4-a înseamnă 81, deci ar trebui să știm cât face 3 la a 4-a să calculăm.
Împărțit la 3 la a 3-a, dacă facem calcul, ne dă 27.
81 împărțit la 27, facem împărțirea și ne dă 3.
Dacă aplicăm această regulă pe care am învățat-o aici, ce observăm?
Avem puteri cu aceeași bază și între ele operația de împărțire.
Copiem baza 3 și scădem exponenții, 4 minus 3.
Și obținem 3 la a 1-a, care înseamnă 3.
Care modalitate de calcul e mai ușoară?
E clar, aceasta este mult mai simplu.
Încă un exemplu.
Să calculăm acum 7 la 24 împărțit la 7 la a 3-a, împărțit la 7 la a 19.
Egal cu.
Cum avem puteri cu aceeași bază, peste tot avem operația de împărțire.
Copiem baza și scădem exponenții, 24 minus 3 minus 19.
Și facem calculul.
Avem 7 la, 24 minus 3 ne dă 21, minus 19 ne dă 2.
7 la a 2-a, adică 49.
Avem 7 ori 7.
Bun, haideți să scriem atunci și regula.
Când împărțim două sau mai multe puteri cu aceeași bază, de exemplu a la m împărțit la a la n.
Atunci copiem baza și scădem exponenții m minus n.
Aici mai trebuie să trecem condiția ca a să fie diferit de 0, nu putem să împărțim la un număr când el este 0.
Și m să fie mai mare decât n, că avem aici diferența m minus n.
M mai mare sau egal cu n.
Deci încadrăm, aceasta este regula de calcul.
Și acum, pentru următoarea regulă, pornim de la acest calcul.
De fapt, vrem să scriem ca o singură putere 2 la a 3-a totul la a 5-a.
Bun, avem de fapt această putere, adică acest număr ridicat la exponentul 5.
Deci acest număr îl scriem de 5 ori.
Și avem 2 la a 3-a înmulțit cu 2 la a 3-a, înmulțit cu 2 la a 3-a.
Și așa mai departe trebuie să îl trecem de 5 ori.
Iată, 1, 2, 3, 4, 5. Bun.
Peste tot avem produse de puteri care au aceeași bază.
Deci copiem baza și ce facem cu exponenții, fiind vorba de produse aici?
Îi vom aduna.
De câte ori ne apare 3?
Păi de 5 ori, că sunt 5 factori.
Deci avem 3 plus 3 plus 3 plus 3 plus 3.
L-am scris de 5 ori?
Da, bun.
Deci am obținut 2 la ce exponent?
Păi dacă l-adunăm pe 3 de 5 ori, înseamnă de fapt 3 înmulțit cu 5.
Păi ia să vedem.
Am plecat de aici, 2 la a 3-a, totul la a 5-a, egal cu 2 la 3 ori 5.
Ce am făcut cu exponenții?
I-am înmulțit.
Deci când ne apar astfel de puteri în care avem această paranteză,
atunci vom copia baza și vom înmulți exponenții 3 ori 5, adică ne dă 2 la 15.
Un alt exemplu.
Să calculăm acum 3 la a 2-a, totul la a 2-a.
Scriem baza.
3 și înmulțim exponenții 2 ori 2, adică ne dă 3 la a 4-a.
Sau 5 la a 3-a, totul la a 8-a, de exemplu.
Avem 5 la 3 ori 8, adică ne dă 5 la 24.
Sau 2 la a 7-a, totul la a 2-a.
Și avem așa, 2 la 7 ori 2, înmulțim exponenții, adică 2 la 14.
Bun, aici putem să facem și o observație.
Și să facem aici semnul exclamării.
Vrem să calculăm acum 2 la 7 la a 2-a.
Deci nu 2 la a 7-a, totul la a 2-a, ci 2 la 7 la a 2-a.
Păi, de fapt, aici în primul rând observăm că nu ne mai apar paranteze
și această bază 2 este ridicată la exponentul 7 la a 2-a.
Deci nu are sens să înmulțim aici pe 7 cu 2, ca în această situație,
pentru că vorbim de 7 la a 2-a.
Cu alte cuvinte, ca să facem acest calcul, scriem baza 2 și ridicăm la putere pe 7.
7 la a 2-a înseamnă 49.
Deci iată că vorbim de lucruri diferite.
2 la 7 la a 2-a nu este același lucru cu 2 la 7-a, totul la a 2-a.
Aici obținem 2 la 49, iar aici, iată, 2 la 14.
Dacă ar fi să scriem și regula, a la m, totul la n ne va da.
Scriem baza a și înmulțim exponenții m ori n.
Iată, aceasta este regula.
Acum, haideți să scriem ca o singură putere produsul 12 la a 2-a ori 3 la a 2-a.
De fapt, 12 la a 2-a ori 3 la a 2-a.
Vrem să vedem ce obținem atunci când înmulțim puteri care au același exponent.
Nu ne interesează dacă bazele sunt diferite, ci important este să avem același exponent.
12 la a 2-a avem 12 ori 12 înmulțit mai departe cu 3 la a 2-a, adică cu 3 ori 3.
Însă, înmulțirea este cum?
Este și asociativă și comutativă.
Deci, putem să grupăm factorii așa cum dorim.
Și îi putem nota 12 ori 3.
I-am grupat pe aceștia 2 înmulțit cu ce ne-a rămas, adică 12 ori 3.
Bun, însă, putem să continuăm gruparea și îi grupăm pe primii 2 și pe ultimii 2.
De fapt, avem acest produs 12 ori 3 ridicat la ce putere?
La putere a 2-a. Iată, ne apare de 2 ori acest produs.
Ce am obținut?
Păi, iată, de fapt, înmulțim bazele 12 ori 3, totul ridicat la exponentul 2.
Evident că uneori ne e mai ușor să folosim această scriere sau poate aceasta.
De exemplu, dacă ni se dă un produs de numere la un exponent și noi vrem să desfacem acel produs,
atunci exponentul merge, să spunem așa, la fiecare bază în parte.
L-am distribuit pe 2 și pe la 12 și la 3.
Sau poate că uneori ni se dă această scriere.
De exemplu, avem 5 ori 11 ori 3, totul ridicat la a4 și vrem să desfacem acest produs.
Și vom avea 5 la a4 înmulțit cu 11 la a4 înmulțit cu 3 la a4.
Dacă ar fi să scriem regula, avem că a la m ori b, deci nu contează baza,
important este să avem același exponent, deci ori b la m este egal de fapt cu a ori b,
înmulțim bazele totul la exponentul m.
Aceeași regulă are loc și în cazul împărțirii, deci dacă avem 12 la a2 împărțit la 3 la a2,
ce vom obține atunci?
Păi avem 12 la a2 împărțit la 3 la a2.
O explicație o putem considera aceasta, 12 la a2, deci notăm 12 ori 12 împărțit la 3 la a2,
adică la produsul 3 ori 3, atenție aici trebuie să trecem paranteza, cum am discutat.
Pe 12 îl putem scrie 4 ori 3, deci avem 4 ori 3 înmulțit cu din nou 4 ori 3 împărțit la 3 ori 3.
Acum, acești factori îi putem grupa tot așa după cum dorim,
deci 4 ori 4 putem să îi grupăm astfel înmulțit cu ce ne-a rămas, adică 3 ori 3.
Împărțit la 3 înmulțit cu 3.
Și acum, avem un produs, pentru că pe aceștia îi putem grupa,
deci avem un produs urmat de o împărțire, putem să facem mai întâi împărțirea și aici obținem 1,
avem 9 împărțit la 9, deci 1.
Cu alte cuvinte, rezultatul este 4 ori 4.
Cum l-am obținut pe 4?
4 înseamnă, de fapt, 12 împărțit la 3.
Avem 12 împărțit la 3 înmulțit tot cu 12 împărțit la 3.
Iată, obținem, de fapt, 12 împărțit la 3 totul la exponentul 2.
Adică, scriem bazele, deci 12 împărțit la 3
și vom trece această împărțire la exponentul comun, adică la exponentul 2.
Iată, foarte asemănătoare cu această regulă, doar că în loc de înmulțire avem operația de împărțire.
Deci, a la m împărțit la b tot la m este egal cu a împărțit la b totul la exponentul m.
Aici trebuie să mai trecem că b să fie un număr natural diferit de 0 pentru că împărțim la un număr și el trebuie să fie n-nul.
Deci, iată, am mai găsit încă două reguli de calcul cu puteri.