Transcript: Reciprocele teoremei celor trei perpendiculare

În continuare să discutăm despre reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare.
Ce înțelegem prin reciprocă a unei teoreme?
Și am ales acest exemplu, teorema unghiului de 30 de grade, care ce ne spune? Să o enunțăm.
Fie triunghiul, l-am denumit aici BAC, cu măsura unghiului A de 90 de grade,
deci dacă se dă un triunghi dreptunghic, atunci dacă măsura unui unghi ascuțit, de exemplu măsura unghiului C, are 30 de grade,
atunci ce rezultă? Păi rezultă că lungimea catetei care se opune unghiului de 30 de grade, adică AB, este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Deci putem să notăm că rezultă că AB este egală cu BC supra 2.
Teorema reciprocă, deci aceasta a fost teorema directă, teorema reciprocă ce ne spune?
Păi ea ne spune că dacă ni se dă un triunghi dreptunghic BAC, deci această parte a ipotezei rămâne, o vom copia,
atunci dacă AB este jumătate din BC, deci dacă lungimea catetei AB este egală cu jumătate din lungimea catetei BC,
atunci rezultă că măsura unghiului C este de 30 de grade, trec aici măsura unghiului C egală cu 30 de grade.
Ce observăm? Cum am obținut teorema reciprocă din teorema directă?
Păi am păstrat această parte a ipotezei, iată, se vede aici, și ce am făcut?
Am înlocuit o parte a ipotezei, mă refer la această teoremă, cu concluzia, deci în loc de măsura unghiului C egal cu 30 de grade,
cum era în teorema directă, am scris în teorema reciprocă concluzia, iată ce era aici, am trecut aici în ipoteză,
și a rezultat această parte a ipotezei, că măsura unghiului C este de 30 de grade.
Cu alte cuvinte, teorema reciprocă ne arată că lucrurile se întâmplă și invers,
deci dacă în acest cadru ni se da această relație, atunci rezultă această relație.
Prin urmare, reciproca unei teoreme se obține din teorema directă, înlocuind ipoteza sau o parte a ipotezei,
cum a fost aici, cu concluzia.
Și acum să revenim la teorema celor trei perpendiculare, să o enunțăm.
Dacă dreapta D, sau să o numim CO, este perpendiculară pe planul alfa și dreapta OA este perpendiculară pe dreapta B,
OA și B sunt incluse în planul alfa, atunci ce rezultă?
Conform teoremei celor trei perpendiculare, rezultă că CA este perpendiculară pe B.
Și am trasat aici și pe desen cu roșu concluzia, CA este perpendiculară pe B.
Acum, ca să obținem prima reciprocă, vom înlocui ceva nume din ipoteză,
vom adăuga în ipoteză faptul că CA este perpendicular pe B.
Deci o să știm că dreapta CA este perpendiculară pe dreapta B și o să ne rezulte altceva.
Concret, dacă dreapta CO este perpendiculară pe planul alfa și CA este perpendiculară pe B,
atunci rezultă că OA este perpendiculară pe B.
Să notăm, CO, perpendiculară pe planul alfa, CA este perpendiculară pe B,
dreptele OA și B, unde se află, sunt incluse în planul alfa și punctul C nu aparține planului alfa.
Atunci rezultă, și voi scrie așa, din reciproca teoremei celor trei perpendiculare, că OA este perpendiculară pe B.
Demonstrația este foarte asemănătoare cu demonstrația teoremei directe,
deci nu o să facem acest lucru și aici am obținut prima reciprocă.
A doua reciprocă ne spune că dacă OA este perpendiculară pe B, dreptele OA și B sunt incluse în acest plan,
dacă CA este perpendiculară pe B și dacă dreapta CO este perpendiculară pe OA,
iată, avem aici 90 de grade, atunci rezultă că dreapta CO este perpendiculară pe planul alfa.
Să notăm, deci știm că OA este perpendiculară pe dreapta B,
cele două drepte OA și B sunt incluse în planul alfa,
hai să facem acest inclus, se vadă mai bine, în planul alfa,
mai știm că CA este perpendiculară pe B,
trecem și această relație,
CA cum este?
CA nu este inclusă în planul alfa și mai știm că CO sau dreapta D este perpendiculară pe, atenție, dreapta OA
și din reciproca teoremei celor trei perpendiculare,
mă refer la a doua reciprocă, rezultă că dreapta CO este perpendiculară pe planul alfa, nu doar pe OA,
deci rezultă că CO este perpendiculară pe alfa.
Tot așa demonstrația se face foarte asemănător cu demonstrația făcută la teorema directă.
Acestea au fost cele două reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare.