Transcript: Reciproca teoremei lui Pitagora
În această lecție o să învățăm reciproca teoremei lui Pitagora.
Această teoremă este foarte utilă atunci când dorim să demonstrăm că un triunghi este dreptunghic.
Dacă într-un triunghi pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi,
atunci triunghiul este dreptunghic.
Vom demonstra această teoremă. Presupunem că avem un triunghi oarecare ABC.
În care avem următoarea relație BC la pătrat egal cu AB la pătrat plus AC la pătrat.
Trebuie să arătăm în concluzie că măsura unghiului A este egală cu 90 de grade.
Pentru aceasta am construit un triunghi MNP astfel încât măsura unghiului M să fie egală cu 90 de grade,
MN să fie congruent cu AB și MP congruent cu AC.
Pentru a demonstra că triunghiul ABC este dreptunghic,
vom demonstra că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul MNP.
Triunghiul MNP având unghiul M cu măsura de 90 de grade
va rezulta din congruența celor două triunghiuri, că și măsura unghiului A va fi de 90 de grade.
Așadar să arătăm că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul MNP.
Dacă triunghiul MNP este dreptunghic, atunci putem să aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi.
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul MNP.
Va rezulta că NP la pătrat este egal cu MN la pătrat plus MP la pătrat.
Dar MN este congruent cu AB, deci putem să scriem egal cu AB la pătrat plus AC la pătrat.
Dar AB la pătrat plus AC la pătrat este egal cu BC la pătrat, din ipoteză.
Am arătat astfel că NP la pătrat este egal cu BC la pătrat.
Atunci va rezulta că NP este egal cu BC sau altfel scris NP este congruent cu BC.
Am arătat astfel că cele două triunghiuri au toate cele trei laturi respectiv congruente.
MN este congruent cu AB din construcția făcută, MP este congruent cu AC și am demonstrat că NP este congruent cu BC.
Din relațiile 1, 2 și 3 rezultă că triunghiul MNP este congruent cu triunghiul ABC.
Din această relație de congruență rezultă că unghiul M este congruent cu unghiul A.
Dar măsura unghiului M este egală cu 90 de grade din construcție și atunci va rezulta că măsura unghiului A va fi și aceasta egală cu 90 de grade.
Astfel am arătat că triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic în A.
Rețineți că dacă într-un triunghi se verifică această relație A la a doua plus B la a doua egal cu C la a doua, unde AB și C sunt lungimile laturilor triunghiului, atunci triunghiul este dreptunghic.
O să facem în continuare o problemă.
Dacă triunghiul ABC are laturile AB, AC și BC direct proporționale cu numerele 5, 12 și 13, iar perimetrul triunghiului este egal cu 60 centimetri, arătați că triunghiul este dreptunghic.
Dacă laturile triunghiului sunt direct proporționale cu 5, 12 și 13, atunci putem să scriem următoarea relație.
Ab supra 5 este egal cu Ac supra 12 și egal cu Bc supra 13.
Putem egala aceste rapoarte în continuare cu raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor.
Se știe că perimetrul triunghiului este 60 centimetri, iar suma pe care am obținut-o noi la numărător este tocmai perimetrul triunghiului.
Putem să scriem egal mai departe cu perimetrul triunghiului ABC supra.
5 plus 12 este 17 plus 13 egal cu 30.
Perimetrul triunghiului este 60, iar 60 supra 30 este egal cu 2.
Pentru a afla lungimile laturilor triunghiului, egalăm fiecare raport cu 2.
Ab supra 5 este egal cu 2.
De aici va rezulta că Ab este egal cu 2 ori 5 și egal cu 10 centimetri.
Ac supra 12 este egal cu 2.
Rezultă Ac egal cu 12 ori 2, egal cu 24 centimetri.
Și Bc supra 13 este egal cu 2.
De aici va rezulta că Bc este egal cu 13 ori 2, egal cu 26 centimetri.
Pentru a verifica dacă triunghiul ABC este dreptunghic, folosim reciproca teoremei lui Pitagora.
Observăm că cea mai mare latură a triunghiului este latura BC.
Înseamnă că latura BC ar trebui să fie ipotenuză în cazul în care triunghiul ar fi dreptunghic, iar laturile AB și AC sunt catete.
Folosim reciproca teoremei lui Pitagora și arătăm că AB la pătrat plus AC la pătrat va fi egal cu BC la pătrat.
Verificăm această relație.
10 la a doua este egal cu 100, 24 la a doua este 576, iar 26 la a doua este 676.
100 plus 576 este egal cu 676.
Am obținut astfel o relație adevărată.
Și atunci, folosind reciproca teoremei lui Pitagora, va rezulta că triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic.
Având măsura unghiului A egală cu 90 grade, am arătat astfel că această relație este verificată.