Transcript: Raţionalizarea numitorului unei fractii

Raționalizarea numitorului unei fracții.
Raționalizarea este procedeul prin care transformăm un număr irrațional într-un număr rațional.
Dacă avem, de exemplu, fracția 1 supraradical din 5, observăm că numitorul este un număr irrațional.
Pentru a-l transforma într-un număr rațional, trebuie să găsim un alt număr care, înmulțit cu el, va transforma produsul într-un număr rațional.
Pentru aceasta vom folosi proprietățile radicalilor învățate până acum.
Știm că radical din 5 ori radical din 5 este egal cu radical din 5 ori 5, egal mai departe cu radical din 25, care este egal cu 5.
Observăm așadar că dacă înmulțim radical din 5 cu el însuși, produsul astfel obținut este 5, care este un număr rațional.
Și atunci, pentru a transforma numitorul acestei fracții într-un număr rațional, va trebui să amplificăm fracția cu radical din 5.
Prin amplificare, obținem următoarea fracție.
1 ori radical din 5 este radical din 5, iar la numitor avem radical din 5 ori radical din 5,
egal mai departe cu radical din 5 supra radical din 25,
egal cu radical din 5 supra 5.
În general, dacă numitorul unei fracții este un număr irrațional de forma radical din B sau aradical din B,
prin amplificarea fracției cu numărul radical din B, numitorul devine un număr rațional.
Vom spune că am raționalizat numitorul.
În continuare vom da câteva exemple.
Primul exemplu.
2 supra radical din 3.
Ne propunem să raționalizăm numitorul acestei fracții.
Vom amplifica fracția cu radical din 3
și obținem la numărător 2 ori radical din 3, care se scrie 2 radical din 3,
supra radical din 3 ori radical din 3,
egal în continuare cu 2 radical din 3 supra radical din 9,
egal mai departe cu 2 radical din 3 supra 3.
Al doilea exemplu.
10 radical din 5 supra radical din 2.
Numitorul este numărul irrațional radical din 2,
iar pentru a raționaliza numitorul amplificăm fracția cu radical din 2
și obținem 10 radical din 5 ori radical din 2,
supra radical din 2 ori radical din 2,
egal în continuare cu 10 radical din 10,
radical din 2 ori radical din 2 este radical din 4, adică 2.
Această fracție se mai poate simplifica cu 2,
deoarece 10 este un multiplu a lui 2.
Simplificând cu 2 obținem la numărător 5,
iar la numitor 1.
Așadar rezultatul va fi 5 radical din 10.
Al treilea exemplu.
2 radical din 2 supra radical din 5.
Amplificăm fracția cu radical din 5
și obținem 2 radical din 2 ori radical din 5,
supra radical din 5 ori radical din 5,
egal mai departe cu 2 radical din 10 supra 5.
4
7 supra 3 radical din 11.
La numitor avem produsul dintre numărul rațional 3
și numărul irrațional radical din 11.
Pentru a raționaliza numărul radical din 11,
amplificăm fracția cu radical din 11.
Vom obține 7 radical din 11
supra 3 radical din 11 ori radical din 11.
Egal mai departe cu 7 radical din 11
supra 3 ori radical din 11 ori radical din 11 este 11.
Egal mai departe cu 7 radical din 11 supra 33. 5
minus 4 supra 5 radical din 3.
Numărul irrațional de la numitor este radical din 3,
așadar trebuie să amplificăm fracția cu radical din 3
și vom obține minus 4 radical din 3
supra 5 radical din 3 ori radical din 3.
Egal mai departe cu minus 4 radical din 3
supra 5 ori 3.
Egal cu minus 4 radical din 3 supra 15. 6
2 radical din 13
supra 7 radical din 2.
Numărul irrațional de la numitor este radical din 2.
Amplificăm fracția cu acesta.
Vom obține la numărător 2 radical din 13 ori radical din 2
supra 7 radical din 2 ori radical din 2.
Egal cu 2 radical din 26 supra 7 ori 2.
Putem să simplificăm cu 2.
Și obținem rezultatul radical din 26 supra 7.
Următorul exercițiu, numărul 7.
1 minus radical din 2 supra radical din 5.
Amplificăm fracția cu radical din 5.
Atenție! Numărul radical din 5 trebuie înmulțit cu toată expresia de la numărător.
Și atunci, ca să efectăm corect, va trebui să punem o paranteză.
Deci avem radical din 5 pe lângă 1 minus radical din 2
supra radical din 5 ori radical din 5.
Pentru a desface această paranteză vom folosi distributivitatea înmulțirii față de scădere
și vom înmulți numărul radical din 5 cu fiecare număr din paranteză.
Vom obține radical din 5 ori 1 care este radical din 5
minus radical din 5 ori radical din 2.
Iar la numitor, radical din 5 ori radical din 5 este 5.
Egal mai departe cu radical din 5 minus radical din 10 supra 5.
8
Radical din 2 minus radical din 7
supra 3 radical din 3.
Numărul iracional de la numitor este radical din 3.
Așadar vom amplifica fracția cu radical din 3.
Numărul radical din 3 se înmulțește cu toată expresia de la numărător
și vom scrie radical din 3 pe lângă radical din 2 minus radical din 7
supra 3 radical din 3 ori radical din 3.
Egal mai departe.
Radical din 3 ori radical din 2 minus radical din 3 ori radical din 7
supra 3 ori 3 pentru că radical din 3 ori radical din 3 este 3.
Aici înmulțim acești radicali. Radical din 3 ori radical din 2 este radical din 6
minus radical din 3 ori radical din 7 este radical din 21
iar la numitor avem 3 ori 3 adică 9.
Următorul exercițiu.
6 radical din 3
supra radical din 32.
Mai întâi vom scoate factorii de sub acest radical.
Va trebui să descompunem factor prim, numărul 32
32 este un număr par, deci se împarte la 2
și obținem rezultatul 16. 16 împărțit la 2 este 8
8 împărțit la 2 este 4, 4 împărțit la 2 este 2
și 2 împărțit la 2 este 1.
Grupăm factorii câte 2, alăturat trecem factorul care se repetă
și obținem că radical din 32 este egal cu 2 ori 2 adică 4 radical din 2.
Numărul care a rămas fără pereche se trece sub radical.
Și atunci vom scrie 6 radical din 3 supra 4 radical din 2.
Numărul irrațional de la numitor este radical din 2 și atunci vom amplifica fracția cu radical din 2.
Obținem astfel 6 radical din 3 ori radical din 2 supra 4 radical din 2 ori radical din 2
egal cu 6 radical din 6 supra 4 ori 2
Putem să simplificăm cu 2, 6 împărțit la 2 este 3, 2 împărțit la 2 este 1
și obținem 3 radical din 6 supra 4.
Și ultimul exercițiu, 10
9 radical din 2 supra radical din 45.
Descompunem numărul 45 în factor prim
45 se împarte la 3 fiindcă suma cifrelor sale este 9
45 împărțit la 3 este 15
15 se împarte la 3 și obținem 5
5 împărțit la 5 este 1
grupăm câte 2 și observăm că radical din 45 va fi egal cu 3 radical din 5
și atunci vom scrie egal cu 9 radical din 2 supra 3 radical din 5
amplificăm fracția cu radical din 5
și obținem 9 radical din 2 ori radical din 5
supra 3 radical din 5 ori radical din 5
egal cu 9 radical din 10 supra 3 ori 5
simplificăm 9 și 3
9 împărțit la 3 este 3 și 3 împărțit la 3 este 1
și obținem rezultatul final
3 radical din 10 supra 5