Transcript: Raționalizarea numitorului

Să raționalizăm acum numitorii de formă, avem aici două forme de fapt, A plus radical din B și A minus radical din B.
Mai întâi, să ne amintim ce este aceea raționalizarea unui numitor.
Păi, dacă avem un raport, cum e acesta, 7 supra radical din 2, la numărător putem să avem orice număr real,
dar la numitor e important faptul că avem un număr irrațional.
Haideți să notăm, radical din 2 aparține lui R minus Q, este prin urmare un număr irrațional.
Păi, în exerciții este mai greu să lucrăm cu asemenea numere, de aceea raționalizăm numitorul acestui raport.
De fapt, ce facem? Amplificăm acest raport cu radical din 2, cu alte cuvinte, chiar cu radicalul care apare la numitor.
Și vom avea, egal mai departe, linie de fracție, 7 înmulțit cu radical din 2, iar la numitor avem radical din 2 înmulțit cu radical din 2.
Egal cu, vom avea 7 ori radical din 2, adică 7 radical din 2, supra, aici vom obține radical din 2 la pătrat, deci 2.
Iată că, dintr-un numitor irrațional, am ajuns la un numitor rațional, 2 este un număr rațional.
Ei, acest procedeu se numește raționalizarea numitorului.
Cum raționalizăm acum numitorul acestui raport? Iată, 8 supra 3 minus radical din 2.
Ce fel de număr este numitorul acestui raport?
Păi, 3 minus radical din 2 este, de fapt, un număr irrațional, aparține mulțimii r minus q.
Acum, aceasta este forma de scriere a acestui număr, adică nu mai putem să restrângem sub o altă formă această diferență,
ci așa se scrie numărul nostru, 3 minus radical din 2.
Cum să facem acum ca să raționalizăm acest numitor?
Cu alte cuvinte, nu mai vrem să ne apară aici radical din 2.
Păi, putem să facem în așa fel încât, în loc de radical din 2, să avem radical din 2 la pătrat?
Pentru că, având aici exponentul 2, radicalul o să dispară.
Ei bine, putem să facem acest lucru astfel.
Vom amplifica acest raport cu suma celor două numere.
Aici avem diferența lor și vom amplifica cu suma 3 plus radical din 2.
Și haide să notăm ce vom obține.
Egal mai departe cu, la numărător avem 8 pe lângă 3 plus radical din 2,
iar la numitor avem diferența numerelor înmulțită cu suma lor, cu 3 plus radical din 2.
Păi, ne sună cumva cunoscut un asemenea produs dintre diferența a două numere și suma lor? Sigur.
Haide să ne amintim formula.
Deci, dacă avem a și b, două numere reale, când înmulțim diferența numerelor cu suma lor,
vom obține diferența pătratelor celor două numere, adică a pătrat minus b pătrat.
Și iată că, astfel, făcând acest produs, obținem pătratele celor două numere.
Păi, asta înseamnă că vom avea aici și radical din 2 la pătrat, deci nu o să ne mai apară radicalul.
Haide să notăm, egal mai departe cu, trecem linia de fracție, 8 pe lângă 3 plus radical din 2,
iar la numitor vom avea 3 la a doua minus radical din 2 la a doua.
Deci, egal mai departe, 8 pe lângă 3 plus radical din 2, supra avem aici 9 minus 2.
Egal cu, numitorul pe care îl obținem este 7, la numărător fie putem să lăsăm scriere așa,
sau dacă vreți putem să desfacem și parantezele, și atunci vom obține 24 plus 8 radical din 2.
Iată că am obținut dintr-un numitor număr irrațional, un număr rațional.
Ei, acest procedeu se numește raționalizarea numitorului.
Cu alte cuvinte, când avem un numitor de această formă,
deci să luăm raportul 1 supra și numitorul are această formă a minus radical din b,
unde a și b sunt numere raționale și radical din b este un număr irrațional.
Bun, ca să raționalizăm un asemenea raport, la numărător putem să avem orice număr real,
am pus aici unul ca să ne fie mai ușor la calcul,
deci ca să raționalizăm vom amplifica acest raport cu suma celor două numere cu a plus radical din b
și vom avea, la numărător avem a plus radical din b,
iar la numitor a minus radical din b înmulțit cu a plus radical din b,
egal cu, numărătorul îl copiem,
iar la numitor vom avea, conform formulei pe care am folosit-o anterior,
avem diferența dintre pătratele celor două numere,
adică avem a pătrat minus radical din b la pătrat,
însă radical din b la pătrat știm că ne dă b,
deci haideți să ștergem și scriem direct că aici vom obține minus b.
Deci ce am obținut aici, acest numitor este un număr rațional.
Dacă avem însă raportul 1 supra a plus radical din b,
deci aici nu mai avem diferența acelor două numere ci suma lor,
păi ideea de raționalizare este aceeași,
singura diferență este că acum vom amplifica cu a minus radical din b,
deci amplificăm cu diferența celor două numere,
și egal mai departe, cu la numărător vom avea a minus radical din b,
în timp ce la numitor vom avea același produs care apare și aici.
Cu alte cuvinte scriem direct rezultatul a pătrat minus b, tot așa număr rațional.
Haideți acum să aplicăm aceste două metode de raționalizare în exerciții
și avem acest raport 4 supra 2 plus radical din 5.
Avem aici un număr rațional, acesta este un număr irrațional
și avem sumă între cele două numere.
Atunci, cu cât vom amplifica?
Vom amplifica cu diferența lor, adică cu 2 minus radical din 5
și vom obține linie de fracție la numărător.
Avem 4 pe lângă 2 minus radical din 5, iar la numitor avem 2 adunat cu radical din 5
înmulțit cu 2 minus radical din 5.
Numărătorul putem să-l copiem, deci avem 4 pe lângă 2 minus radical din 5,
iar la numitor vom avea diferența dintre 2 la a doua și radical din 5 la a doua.
Deci diferența dintre pătratele celor două numere.
Întotdeauna, atenție, obținem diferența, asta ne spune formula.
Avem linie de fracție, 4 pe lângă 2 minus radical din 5, iar aici avem 4 minus 5.
Păi 4 minus 5 ne dă minus 1, practic rezultatul este
acest număr împărțit la minus 1 ne dă minus 4 pe lângă 2 minus radical din 5.
Și putem să desfacem și paranteza, vom avea minus 8 adunat cu 4 radical din 5.
Următorul exercițiu, 12 radical din 3 supra radical din 7 minus 1.
Avem aici un număr irrațional și aici un număr rațional,
nu contează că ordinea e diferită față de cea de mai sus,
avem tot așa un număr irrațional.
Atunci, cu cât vom amplifica?
Vom amplifica ca și mai sus,
haideți să facem tot cu verde,
vom amplifica cu suma acestor două numere,
cu radical din 7 adunat cu 1 și vom obține.
Trecem mai întâi linia de fracție,
12 radical din 3 înmulțit cu radical din 7 plus 1,
iar la numitor vom avea radical din 7 minus 1,
înmulțit cu radical din 7 plus 1,
egal cu, copiem numărătorul,
aici avem radical din 7 plus 1,
iar la numitor aplicăm formula,
deci vom avea așa, radical din 7 la pătrat,
minus 1 la pătrat,
deci este egal cu,
avem 12 ori radical din 3,
ori radical din 7 plus 1,
și aici vom avea 7 minus 1,
adică ne dă 6.
Păi chiar putem să facem și o simplificare de fapt,
pentru că aici avem înmulțire,
peste tot la numărător avem înmulțire,
deci putem să simplificăm pe 12 și 6 prin 6,
ne rămâne aici 1, iar aici 2.
Și putem să desfacem și paranteza,
vom avea 2 ori radical din 3,
ori radical din 7, înmulțim aici radicalii,
deci vom avea 2 radical din 21,
adunat cu,
avem 2 radical din 3 înmulțit cu 1,
adică 2, deci plus 2 radical din 3.
Următorul exercițiu,
11 supra radical din 3 minus radical din 2.
Păi aici observăm că avem diferența dintre două numere irraționale,
nu avem ca mai sus un număr rațional și celălalt irrațional,
ci ambele numere sunt irraționale.
Numitorul este sigur număr irrațional,
însă cum vom face să raționalizăm un asemenea raport?
Păi ideea de rezolvare este aceeași,
adică vom amplifica acest raport cu suma celor două numere,
cu radical din 3 adunat cu radical din 2.
Dacă vom amplifica cu această sumă,
atunci conform formulei,
vom avea diferența dintre pătratele celor două numere,
deci nu o să mai avem nici radical din 3, nici radical din 2,
ci ambele vor fi la pătrat.
Haideți să notăm linie de fracție la numărător,
11 pe lângă radical din 3 adunat cu radical din 2,
iar la numitor avem radical din 3 minus radical din 2,
pe care îl înmulțim cu radical din 3 plus radical din 2.
Egal cu, trecem linia de fracție,
11 pe lângă radical din 3 plus radical din 2,
și la numitor ce vom obține?
Radical din 3 la a doua,
din care scădem pe radical din 2 la a doua.
Deci vom avea numărătorul supra,
haideți să notăm linie de fracție,
numărătorul 11 radical din 3 plus radical din 2,
supra vom avea aici 3 minus 2.
Cu alte cuvinte rezultatul este 11,
pe lângă această paranteză,
dacă vrem să desfacem paranteza,
avem 11 radical din 3 adunat cu 11 radical din 2.
Și s-a încheiat, iată că și în aceste situații
putem să amplificăm cu suma lor,
sau respectiv cu diferența, dacă aici avem suma,
și astfel vom raționaliza numitorul.