Transcript: Rapoarte algebrice

Vrem să discutăm acum despre rapoarte algebrice. Însă, ce fel de rapoarte cunoaștem noi?
Păi cunoaștem rapoarte numerice. De exemplu, avem acest raport 8 minus 2 ori 10 supra 7 înmulțit cu 10.
Aici ne apar doar numere, avem un raport, deci vorbim de un raport numeric. Tot raport numeric este și acesta în care observăm că avem aici și radicali.
Deci, aici avem două exemple de rapoarte numerice. Însă, ce este acela un raport algebric?
Ei bine, un raport algebric conține pe lângă numere și variabile. De exemplu, avem aici linie de fracție 8 minus 2 înmulțit cu x supra 7 înmulțit cu x.
Acesta este un raport algebric. Pe lângă numere, observăm aici, avem și o variabilă, variabila x. Putem să avem una, două sau oricât de multe variabile dorim.
x nu ia o valoare fixată, ci noi putem să-i dăm lui x diferite valori. Însă, haideți să vedem.
De exemplu, putem să trecem în locul lui x orice valoare reală dorim? Păi numitorul întotdeauna trebuie să fie cum?
Diferit de 0. Deci, trebuie să punem condiția ca 7 ori x să fie un număr nenul. Păi ca 7 ori x să nu ia valoarea 0, ce înseamnă?
Este echivalent cu a spune că x nu are voie să ia valoarea 0. Cu alte cuvinte, în locul lui x putem să trecem orice număr real dorim în afară de 0.
Deci, x aparține mulțimii numerelor reale din care îl scoatem pe 0. Notând această mulțime în care x ia valori, obținem, de fapt, mulțimea în care acest raport algebric este definit sau putem să spunem că are sens.
Deci, trebuie să fim atenți ca numitorul să nu ia valoarea 0 și să punem condiția care ne asigura acest lucru.
Acum, dacă în locul lui x trecem valoarea 10, iată, haide să notăm dacă x este egal cu 10, ce raport vom obține?
Păi, în locul lui x trecem pe 10 și avem 8 minus 2 ori 10 supra 7 ori 10. Am obținut chiar primul raport.
Dacă în locul lui x vom trece radical din 3, atunci rezultă, nu voi mai scrie, vom obține al doilea raport, cel care este scris aici.
Haideți să mai vedem acum câteva rapoarte algebrice și să stabilim pentru ce valori fiecare raport în parte este definit sau altfel spus are sens.
Și avem aici primul raport x pătrat minus 4 supra 9. Păi, ca un raport să aibă sens, trebuie ca numitorul să fie nenul.
Păi, 9 tot timpul este diferit de 0, asta înseamnă că în locul lui x putem să trecem orice valoare reală dorim.
Deci, notăm aici că x aparține mulțimii numerelor reale.
Dar la acest raport, păi avem 11 supra x minus 3. Acum trebuie să punem condiția ca numitorul, adică x minus 3, să fie cum?
Diferit de 0. Păi, haideți să ne gândim așa, când x minus 3 este 0?
Păi, x minus 3 este 0 dacă și numai dacă x ia valoarea 3. Asta înseamnă că x minus 3 este diferit de 0 dacă și numai dacă x nu ia valoarea 3.
Asta ne duce la concluzia că x aparține mulțimii numerelor reale din care scoatem valoarea 3.
Pardon, trebuie să trecem în treacolade.
Alt raport, 2 ori x plus 1 supra x ori y. Iată că acum avem două variabile, avem și pe x ca variabilă, însă și y.
Numitorul, adică produsul x ori y, trebuie să fie nenul.
Păi, când un produs de două numere reale este diferit de 0?
Când ambele numere sunt diferite de 0.
Deci, este echivalent cu a spune că x e diferit de 0.
Atenție, și în același timp, y trebuie să fie diferit de 0.
Deci, notăm că x și y aparțin mulțimii numerelor reale din care îl scoatem pe 0 sau putem să scriem așa r star.
Cu rapoartele numerice putem face și amplificări și simplificări.
De exemplu, dacă avem raportul 6 supra 10, păi îl putem amplifica cu orice număr diferit de 0, de exemplu cu 3 și vom obține 6 ori 3 ne dă 18, 10 ori 3 ne dă 30.
Sau putem face și simplificări.
Dacă avem raportul 6 supra 10, îl putem simplifica prin 2 și vom obține cât?
Păi avem 6 împărțit la 2, 3, 10 împărțit la 2, 5, deci 3 supra 5.
E bine, amplificări și simplificări putem face și cu rapoartele algebrice.
Și haideți să dăm câteva exemple.
Și să considerăm raportul x plus 1 supra 2 ori x.
Și vrem să amplificăm acest raport algebric cu x minus 1.
Păi ce vom obține? Cu cât va fi egal?
Trebuie să înmulțim atât numărătorul cât și numitorul cu ce avem aici.
Deci la numărător vom avea x plus 1 pe care îl înmulțim cu x minus 1.
Iar la numitor avem 2 ori x înmulțit cu x minus 1 cu ce avem aici.
Și facem calculul cât obținem la numărător.
Păi avem produsul dintre suma a două numere și diferența lor.
Deci obținem diferența pătratelor numerelor x pătrat minus 1.
Iar la numitor avem 2 ori x ori x înseamnă 2x pătrat minus 2 ori x ori 1 adică 2 ori x.
Care este acum mulțimea în care x ia valori?
Dacă privim raportul de la care am plecat, observăm că numitorul adică 2 ori x trebuie să fie diferit de 0.
Deci punem direct condiția ca x să fie diferit de 0.
Însă și numărul cu care am amplificat trebuie să fie nenul.
Ce înseamnă asta?
Că x minus 1 nu poate fi 0 adică x nu poate să fie 1.
Păi de aici rezultă că x aparține cărei mulțimi?
Mulțimea numerelor reale din care scoatem valorile 0 și 1.
Haideți să luăm un alt raport să considerăm că avem aici 3 supra x minus 2.
Și vrem să amplificăm acum cu x.
Deci va fi egal cu, la numărător vom avea 3 înmulțit cu x, iar la numitor vom avea x pe lângă x minus 2.
Deci putem să notăm că avem 3 ori x și la numitor avem x pătrat minus 2 ori x.
Ce valori trecem acum pentru x?
Care e mulțimea în care x poate lua valori?
Păi numitorul trebuie să fie diferit de 0.
Descriem direct x nu poate să fie 2 și în același timp numărul cu care am amplificat nu poate să ia valoarea 0.
Deci x trebuie să fie diferit de 0.
De aici rezultă că x aparține mulțimii numerelor reale din care scoatem numerele 0 și 2.
Cu alte cuvinte, mulțimea în care acest raport este definit este aceasta, r din care am scos numerele 0 și 2.
Haideți acum să și simplificăm rapoarte.
Și ni se dă acest raport x pătrat plus 2 ori x plus 1 supra 3 ori x plus 3.
Și vrem să-l simplificăm.
Însă, mare atenție!
Chiar o să trec aici un semn de exclamare cu roșu.
Ca să putem simplifica rapoarte algebrice trebuie ca mai întâi să descompunem și numărătorul și numitorul în factorii.
Deci, descompunem numărătorul și va fi egal mai departe cu linie de fracție.
Haideți să ștergem și semnul de exclamare.
De fapt, e mai simplu să descompunem mai întâi numitorul.
Observăm că avem 3 ori x plus 3.
Păi nu avem de făcut decât să dăm factor comun pe 3.
3 pe lângă x plus 1.
Ce obținem la numărător?
Păi avem x pătrat plus 2 ori x plus 1.
De fapt, putem să scriem aici că avem 2 ori x care ne apare și aici ori 1 adunat cu 1 la pătrat.
Păi asta înseamnă că avem x plus 1 totul la pătrat.
Și acum, cu cât simplificăm?
Păi e clar că putem simplifica cu x plus 1.
Deci, venim aici și simplificăm prin x plus 1.
Va fi egal mai departe cu linie de fracție.
O să scriem detaliat.
x plus 1 la pătrat împărțit la x plus 1.
Iar la numitor avem 3 pe lângă x plus 1 împărțit la x plus 1.
Cât obținem la numărător?
Păi avem aici o împărțire de două puteri care au aceiași bază.
Aici avem exponentul 1.
Deci copiem baza care este x plus 1 și scădem exponenții 2 minus 1, 1.
Deci ne rămâne x plus 1.
Aici avem x plus 1 împărțit la x plus 1 ne dă 1.
3 ori 1 ne dă 3.
Deci rezultatul e x plus 1 supra 3.
Acum să știți că simplificarea o putem face și în felul următor.
Deci dacă ni se dă exact ce avem aici.
Haideți să-l copiem.
Bun.
Ca să facem simplificarea, putem să tăiem direct la numărător și la numitor
și să vedem ce ne rămâne.
Adică noi simplificăm cu x plus 1.
Atunci tăiem aici pe x plus 1 și știm că o să ne dea x plus 1 împărțit la x plus 1.
Deci aici ne rămâne 1.
Iar aici x plus 1 la pătrat împărțit la x plus 1 o să ne dea x plus 1 la întâia.
Deci e suficient să tăiem exponentul și să scriem aici 1.
Și rezultatul va fi egal cu linie de fracție.
Avem x plus 1 la întâia.
Deci notăm x plus 1 supra 3 ori 1 adică supra 3.
Deci putem simplifica fie folosind această notație,
fie direct folosind să le spunem aceste tăieturi.
Acum, care este mulțimea în care x ia valori?
Păi dacă privim ultimul raport, observăm că numitorul este diferit de 0
oricare ar fi x număr real.
Asta înseamnă că putem să fim tentați să spunem că x aparține mulțimii numerelor reale,
că x ia ca valoare orice număr real, însă este fals.
Pentru că, iată, raportul nostru este de fapt acesta
în care avem și aici descomponerea în factori primi.
Și e clar că numitorul aici, ca să fie întotdeauna diferit de 0,
trebuie ca x să nu fie minus 1.
Deci trebuie să punem condiția ca x plus 1 să fie diferit de 0.
Asta înseamnă că x trebuie să fie diferit de minus 1.
Deci rezultă că x aparține mulțimii numerele reale
din care îl scoatem pe minus 1.
Cu alte cuvinte, când avem rapoarte algebrice pe care le-am simplificat
ca să stabilim mulțimea în care variabila ia valori,
trebuie să mergem la forma inițială a raportului
în care avem deja descomponerea în factori
și nu am făcut până în acel moment nicio simplificare.
Și la acel raport punem condițiile ca numitorul să fie diferit de 0.
Să facem acum un alt exemplu.
4x pătrat minus 4x plus 1 supra 4x la a doua minus 1.
Mai întâi, ce am spus că facem?
Descompunem în factori numărătorul și numitorul.
Deci, linie de fracție la numărător.
Păi aici, dacă nu ne dăm seama din prima care este descomponerea în factori,
putem să-l scriem pe 4x la a doua ca fiind 2x la a doua.
Pe 1-ul scriem 1 la a doua,
iar pe 4x îl scriem 2 înmulțit cu ce avem aici, adică 2 ori x.
Și putem să trecem mai departe înmulțit cu 1.
Și nu s-a schimbat cu nimic expresia noastră.
Însă, din această scriere, e clar că avem aici 2 ori x minus 1,
pardon, era să scriu plus, deci minus 1, totul la pătrat.
Supra, avem 4x pătrat minus 1 la pătrat, adică 2x minus 1 pe lângă 2x plus 1.
Dacă cumva nu mai țineți minte cum se fac aceste descompuneri în factori,
e bine să urmăriți lecțiile de clasa 7, în care s-a discutat acest lucru mai în detaliu.
Acum, haideți să simplificăm.
E clar că putem simplifica prin 2x minus 1.
Și pentru aceasta o să copiez ce avem aici, ca să nu încărcăm foarte mult notația.
Am spus că simplificăm prin 2x minus 1.
Păi vom avea 2x minus 1 împărțit la el însuși,
deci aici o să ne rămână 1.
Cu alte cuvinte putem să tăiem și să scriem 1.
2x minus 1 la pătrat împărțit la 2x minus 1,
de fapt o să ne dea 2x minus 1 la întâia.
Deci tăiem exponentul și scriem 1.
Și notăm cât am obținut.
Linie de fracție, vom avea 2x minus 1 supra 2x plus 1.
Care sunt valorile pe care le ia x?
Unde ne uităm?
Păi privim raportul acesta înainte să fie făcut vreo simplificare
și trebuie să avem numitorul descompus în factori.
Deci acest numitor, să vedem dacă putem să-l copiem,
așa, trebuie să fie diferit de 0.
Pe aici avem un produs dintre două numere reale,
acesta e primul număr, acesta este al doilea.
Ca produsul să fie diferit de 0 înseamnă
că fiecare număr în parte trebuie să fie nenul.
Deci în același timp trebuie să avem ca 2x minus 1 să fie diferit de 0
și 2x plus 1 să fie și el diferit de 0.
Chiar putem să punem acoloată ca să arătăm
că aceste două condiții trebuie să se îndeplinească simultan.
Când 2x minus 1 e diferit de 0,
e foarte simplu când x este diferit de 1 supra 2
iar aici x trebuie să fie diferit de minus 1 supra 2.
Cu alte cuvinte, x aparține mulțimii numerelor reale
din care scoatem numerele plus minus 1 supra 2.
Ultimul exemplu,
x la a patra minus 3 ori x la a doua supra 5x la a treia minus x pătrat.
Cum simplificăm acest raport?
Păi putem să fim tentați să facem aceste simplificări.
Simplificăm aici prin x la a doua,
deci tăiem aici, tăiem și aici ne rămâne 1 și 1
și aici putem simplifica prin x la a treia.
Aici o să ne rămână 1 și aici x la a patra
împărțit la x la a treia ne dă x la a întâia.
Deci să notăm x la puterea a întâi.
Însă această simplificare este greșită
pentru că noi la numărător,
dar și la numitor observăm că avem operații de gradul întâi.
Avem aici scădere, la fel și aici.
Deci nu putem face asemenea simplificări.
Cum e corect să facem?
Trebuie să descompunem în factori
atât numărătorul cât și numitorul și vom avea
linie de fracție.
La numărător putem să dăm factor comun pe x pătrat
și vom avea x pătrat pe lângă
x pătrat minus 3.
Iar la numitor putem să dăm factor comun
tot pe x pătrat.
Și avem aici 5 ori x
minus 1.
Acum putem să simplificăm prin x pătrat.
Deci haideți să copiez aici tot așa
să nu avem o notație prea încărcată.
Vom trece aici să scriem și egal.
Am spus că simplificăm prin x pătrat,
deci putem să tăiem și aici și aici
și vom obține 1 și 1.
Cu alte cuvinte rezultatul este
la numărător avem x pătrat
minus 3 iar la numitor avem 5x
minus 1. Care e mulțimea în care x ia valori?
Păi înainte de simplificare observăm
care a fost raportul. Iată aici numitorul
este acesta. Să-l copiem.
Punem condiția ca numitorul să fie
diferit de 0.
Asta înseamnă că x pătrat trebuie să fie
diferit de 0. Cu alte cuvinte x trebuie să fie
diferit de 0 și acest număr 5x
această expresie trebuie să fie
diferită de 0. Aceste lucruri trebuie să
se întâmple simultan. Deci este echivalent
cu a spune că x nu poate fi 0
și nici 1 supra 5.
Cu alte cuvinte lui x putem să-i dăm
ca valoare orice număr real în afară de 0
și 1 supra 5.