Transcript: Rădăcina de ordin n dintr-un număr complex

În acest videoclip vom discuta despre rădăcina de ordinul N dintr-un număr complex.
Dacă Z este un număr complex, atunci prin radical de ordinul N din Z se înțelege un număr complex U
care ridicat la puterea N se dea Z, adică soluția ecuației U la N egal cu Z.
Vă reamintesc că la mulțimea numerelor reale nu exista posibilitatea extragerii unei rădăcini de ordin par dintr-un număr negativ,
de exemplu nu există radical din minus nouă în R, dar în mulțimea numerelor complexe se poate extrage rădăcina de orice ordin fără restricții.
Această notație radical indice N din Z reprezintă de fapt mai multe numere și vom vedea imediat câte rădăcini distincte există.
Dacă Z este de forma R or cosinus de T plus i sinus de T, iar U este de forma ρ pe lângă cosinus de θ plus i sinus de θ,
atunci ecuația U la N egal cu Z se mai poate scrie astfel,
Rol la puterea N pe lângă cosinus de Nθ plus i sinus de Nθ.
Aici am ridicat numărul U la puterea N folosind formula lui Mavră, egal cu Z, adică R pe lângă cosinus de T plus i sinus de T.
Pentru ca aceste două numere să fie egale, trebuie pusă condiția ca Rol la N să fie egal cu R, adică modulele lor să fie egale,
Rol la N egal cu R, iar referitor la argumente vom ține cont de periodicitatea funcțiilor sinus și cosinus
și vom pune condiția ca diferența dintre argumente să fie multipl întreg de 2pi, adică Nθ să fie egal cu T plus 2kpi, unde k este număr întreg.
Din prima relație deducem că Rol este egal cu radical indice N din R,
R este număr pozitiv, întrucât acesta reprezintă modulul numărului complex Z, așadar se poate extrage radical de orice ordin din R.
Iar din a doua egalitate, exprimăm numărul θ și obținem T plus 2kpi supra N.
Înlocuind aceste două expresii în forma trigonometrică a numărului complex U,
vom obține rădăcinile de ordin N ale numărului complex Z și acestea vor fi date de formula
U indice k egal cu radical indice N din R pe lângă cosinus de T plus 2kpi supra N plus i sinus de T plus 2kpi supra N, unde k este număr întreg.
În funcție de valorile pe care le ia numărul k, putem avea mai multe rădăcini.
De exemplu, pentru k egal cu 0 obținem rădăcina U0, pentru k egal cu 1 avem rădăcina U1 și așa mai departe.
Dar acum se pune întrebarea câte dintre aceste rădăcini sunt distincte.
Pornind de la această relație, haideți să vedem câte rădăcini distincte există.
Pentru k egal cu 0 avem rădăcina U0 egală cu radical indice N din R pe lângă cosinus de T supra N, deci am înlocuit aici pe k cu 0, plus i sinus de T supra N.
În cazul în care k ia valoarea 1, obținem rădăcina U indice 1 egală cu radical de ordinul N din R pe lângă cosinus de T plus 2pi supra N plus i sinus de T plus 2pi supra N.
Și așa mai departe, în cazul în care k ia valoarea N minus 1, obținem rădăcina U indice N minus 1 egală cu radical de ordinul N din R pe lângă cosinus de T plus 2pi supra N plus i sinus de T plus 2pi supra N.
Să vedem însă ce se întâmplă în cazul în care k ia valoarea egală cu N.
Obținem rădăcina U indice N egală cu radical de ordinul N din R pe lângă cosinus de T plus 2N pi supra N plus i sinus de T plus 2N pi supra N.
Dar această fracție T plus 2N pi supra N se mai poate scrie T supra N plus 2N pi supra N. Se simplifică cu N și rămâne 2pi.
Știm că funcțiile sinus și cosinus sunt periodii ce am în perioada principală 2pi.
În consecință, cosinus de T supra N plus 2pi va fi egal cu cosinus de T supra N.
Așadar, în cazul în care numărul k ia valoarea egală cu N, obținem o rădăcină egală cu U zero.
Așadar, rădăcinile distincte sunt cele pentru k luând valori de la 0 până la N minus 1,
deoarece pentru k luând valori mai mari sau egale cu N, obținem rădăcini egale cu U zero, U1, U2 și așa mai departe.
În consecință, avem exact N rădăcini distincte.
În concluzie, haideți să reținem această formulă prin care putem să determinăm rădăcinile de ordinul N ale unui număr complex
relație ce are loc pentru k luând valori de la 0 până la N minus 1.
În cazul în care numărul complex Z este egal cu 1, atunci vorbim despre rădăcinile de ordinul N ale unității.
În continuare, ne propunem să calculăm rădăcinile de ordinul 6 ale unității.
Pentru aceasta, vom scrie mai întâi numărul complex 1 sub formă trigonometrică.
1 este egal cu 1 pe lângă cosinus de 0 plus i sinus de 0.
Cos de 0 este 1, sin de 0 este 0.
Așadar, modulul numărului complex este egal cu 1, iar argumentul este egal cu 0.
Noi dorim să calculăm rădăcinile de ordinul 6 ale unității.
În consecință, acest număr N din formula scrisă mai sus va fi egal cu 6.
Și atunci obținem următoarea relație, U indice că va fi egal cu radical de ordinul 6 din 1
pe lângă cosinus de 0 plus 2kpi supra 6 plus i sinus de 0 plus 2kpi supra 6.
Pentru că luăm valori de la 0 și până la 5.
Această relație se mai poate scrie astfel, U indice că va fi egal radical de ordinul 6 din 1 este 1 pe care nu îl mai scriem
și avem cosinus de 2kpi supra 6, simplificăm cu 2 și ne rămâne cosinus de kpi supra 3 plus i sinus de kpi supra 3.
Unde k ia valori de la 0 până la 5.
În continuare, haideți să calculăm fiecare rădăcină în parte.
U0 va fi egal cu cosinus de 0, deci în relația scrisă mai sus înlocuim numărul k cu 0 și avem cos de 0 plus i sinus de 0.
Cosinus de 0 este 1, sinus de 0 este 0, așadar U0 va fi egal cu 1.
U indice 1 este egal cu cosinus de pi supra 3 plus i sinus de pi supra 3.
Cos de pi supra 3 este 1 pe 2, iar sinus de pi supra 3 este radical din 3 supra 2.
U2 va fi egal cu cosinus de 2pi supra 3 plus i sinus de 2pi supra 3.
Pentru a calcula sinus și cosinus de 2pi supra 3 putem fie să apelăm la formule trigonometrice, avem de exemplu formula pentru argumentul dublu,
sau ne putem uita pe cercul trigonometric.
Pentru a calcula cosinus de 2pi supra 3 vom lua acest unghi de două ori.
Iată, aici este unghiul 2pi supra 3.
Pentru a calcula cosinus se proiectează acest punct pe axa OX.
Obținem că această valoare este negativă, dar egală în modul cu cosinus de pi supra 3.
Cu alte cuvinte, cosinus de 2pi supra 3 va fi egal cu minus 1 pe 2,
iar pentru a calcula sinus de 2pi supra 3 proiectăm acest punct pe axa OY și observăm că obținem aceeași valoare cu sinus de pi supra 3.
În consecință, sinus de 2pi supra 3 va fi radical din 3 supra 2.
Mai departe calculăm U3.
U3 se obține înlocuind numărul K cu 3 și avem cosinus de 3pi supra 3, deci cosinus de pi, plus i-sinus de pi.
Cosinus de pi este minus 1, sinus de pi este 0.
U4 va fi egal cu cosinus de 4pi supra 3, plus i-sinus de 4pi supra 3.
Pentru a calcula cosinus de 4pi supra 3 luăm unghiul pi supra 3 de 4 ori.
1, 2, 3, 4.
Aici avem 4pi supra 3. Cosinus este proiectea acestui punct pe axa OX.
Observăm că avem aceeași valoare ca și cosinus de 2pi supra 3, adică minus 1 pe 2.
Iar sinus de 4pi supra 3 va fi minus sinus de pi supra 3, adică minus radical din 3 supra 2, i.
U5 este egal cu cosinus de 5pi supra 3, plus i-sinus de 5pi supra 3.
Aici este unghiul 5pi supra 3. Cosinus este proiectea acestui punct pe axa OX.
Obținem aceeași valoare ca și cosinus de pi supra 3, adică 1 pe 2.
Iar sinus este proiectea acestui punct pe axa OY.
Obținem minus sinus de pi supra 3, adică minus radical din 3 supra 2, i.
Acestea au fost cele 6 rădăcini ale unității, iar la final aș vrea să enunțăm o teoremă de o importanță deosebită.
Este vorba despre teorema fundamentală a algebrei.
Mulțimea numerelor complexe este algebric închisă, adică orice ecuație algebrică cu coeficienți complexi este rezolvabilă în mulțimea numerelor complexe.
În lecția următoare vom rezolva și noi câteva ecuații cu coeficienți complexi.