Transcript: Puteri cu exponent rațional

Atunci când calculăm o putere cu exponent natural, de exemplu 9 la a 2-a,
știm că trebuie să înmulțim numărul 9 cu el însuși de două ori,
iar rezultatul este 81.
Când avem o putere cu exponent negativ, lucrurile sunt destul de simple,
pentru că trebuie doar să inversăm această fracție și vom scrie 1 supra 9 la pătrat,
adică 1 supra 81.
Ce se întâmplă însă când avem un exponent rațional?
Cum vom calcula 9 la 1p2?
Pentru a calcula valoarea lui X, haideți mai întâi să ridicăm la pătrat acest număr.
9 la 1p2, ridicat la a 2-a.
Dacă am folosit proprietățile puterilor pe care le cunoaștem deja,
ar trebui să înmulțim exponenții.
Deci am avea 9 la putere a 2p2, adică 9 la a 1-a și egal cu 9.
Deci numărul 9 la 1p2 este acel număr care ridicat la pătrat ne dă 9.
Dar numărul care ridicat la pătrat ne dă 9 este radical din 9.
Așadar putem să scriem că 9 la 1p2 este egal cu radical din 9.
Sau, dacă vreți, radical de ordinul 2 din 9.
Deci iată că puterile cu exponent rațional conduc la radical.
În cazul general, putem să scriem următoarea relație.
a la putere a 1pn va fi egal cu radical de ordinul n din a.
Să mai vedem câteva exemple.
7 la 1p3 va fi egal cu radical de ordinul 3 din 7.
3 la putere a 1p4 va fi egal cu radical de ordinul 4 din 3.
Să reținem că întotdeauna numitorul fracției devine indicele radicalului.
Cum vom calcula însă minus 3 la putere a 1p4?
Dacă folosim această relație, ar trebui să avem radical de ordinul 4 din minus 3.
Însă nu putem extrage un radical de ordin par dintr-un număr negativ.
În consecință, pentru ca această formulă să fie corectă, trebuie să punem condiția ca numărul a să fie mai mare sau egal cu 0.
Haideți să calculăm acum 3 la putere a 5s6.
5s6 se poate scrie 1p6 ori 5.
Care va fi egal cu 3 la 1p6?
Totul la 5a.
Adică radical de ordinul 6 din 3 ridicat la 5a.
Care este egal cu radical de ordinul 6 din 3 la 5a?
În cazul general, această relație se va scrie astfel
Întotdeauna numitorul fracției devine indicele radicalului.
Să vedem în continuare care sunt proprietățile puterilor cu exponent rațional.
Să vedem ce se întâmplă atunci când înmulțim două puteri cu aceeași bază.
Avem de exemplu a la m supra n înmulțit cu a la p supra q.
Probabil ați intuit deja că trebuie să adunăm exponenzii, dar haideți să demonstrăm acest lucru bazându-ne pe proprietățile radicalilor.
a la m supra n este radical de ordinul n din a la m.
Iar a la p supra q este radical de ordinul q din a la p.
Pentru a înmulți două radicale având ordine diferite, va trebui mai întâi să aducem la același ordin.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor n și q este produsul nq.
Deci vom avea radical de ordinul nq din a la mq
înmulțit cu radical de ordinul nq din a la np.
Egal, putem să scriem acum sub un singur radical.
Avem radical de ordinul nq din a la mq
înmulțit cu a la np.
Egal, cu radical de ordinul nq.
În continuare folosim proprietățile puterilor cu exponent întreg.
Sub radical avem un produs de două puteri cu aceeași bază, exponenții se adună.
Vom avea a la mq plus np.
Acum scriem acest număr sub formă de putere cu exponent rațional
și vom avea a la puterea mq plus np supra nq.
Egal cu a, aici despărțim în două fracții.
Prima fracție va fi mq supra nq,
iar a doua fracție va fi np supra nq.
Egal, aici simplificăm cu q, iar aici simplificăm cu n
și obținem în final a la puterea m supra n plus p supra q.
Am demonstrat așadar că atunci când înmulțim două puteri cu aceeași bază, exponenții se adună.
Să vedem pe scurt care ar fi celelalte proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, fără să le mai demonstrăm.
Demonstrația acestora se bazează pe proprietățile radicalilor.
Am arătat așadar că atunci când înmulțim două puteri cu aceeași bază, exponenții se adună.
Atunci când împărțim două puteri cu aceeași bază, exponenții se scad.
Următoarea proprietate.
Când ridicăm un produs la o putere, se ridică fiecare factor la acea putere.
Atunci când avem o fracție ridicată la o putere, se ridică atât numărătorul cât și numitorul la acea putere.
Și ultima proprietate importantă.
Când ridicăm o putere la o altă putere, exponenții se înmulțesc.
Să mai vedem în continuare câteva exerciții.
Să calculăm de exemplu 27 la puterea 2 pe 3.
Va fi radical de ordinul 3 din 27 la a doua.
Pentru a ușura calculul, vom scrie astfel radical de ordinul 3 din 27 totul la pătrat.
Egal cu 3 la a doua, adică nouă.
Un alt exercițiu.
Să calculăm 25 la puterea minus 1 pe 2.
Avem exponent negativ, deci vom scrie 1 supra 25 la 1 pe 2.
Egal cu 1 supra radical din 25, adică 1 pe 5.
Haideți să calculăm acum radical din 7 înmulțit cu radical de ordinul 3 din 7.
Știm că pentru a înmulți doi radicali, trebuie să îi aducem la același ordin.
Dar acum putem proceda și altfel, scrind radicalii sub forma unor puteri cu exponent rațional.
Radical din 7 este 7 la 1 pe 2.
Iar următorul radical se poate scrie 7 la 1 pe 3.
Acum înmulțim două puteri cu aceeași bază, deci adunăm exponenții.
Avem 7 la puterea 1 pe 2 plus 1 pe 3.
Egal cu 7 la 5 supra 6.
Aici am amplificat cu 3, aici am amplificat cu 2, 3 plus 2, 5 pe 6.
Egal în continuare cu radical de ordinul 6 din 7 la 5.
Este foarte important să rețineți că numitorul fracției devine indicele radicalului.
În continuare aș vrea să discutăm câteva lucruri despre ordonarea puterilor cu exponent rațional.
Dacă a este un număr pozitiv, iar r1 și r2 două numere raționale, putem întâlni următoarele două situații.
Prima situație, în cazul în care a este un număr mai mare ca 1, iar r1 este mai mic ca r2,
atunci se păstrează relația de ordine dintre exponenți și în cazul puterilor.
Deci a la r1 va fi mai mic decât a la r2.
Și a doua situație, dacă a este un număr cuprins între 0 și 1,
am spus că a trebuie să fie număr pozitiv, deci a nu poate să fie mai mic ca 0,
iar r1 este mai mic ca r2, atunci în situația aceasta relația de ordine se schimbă.
Deci a la r1 va fi mai mare decât a la r2.
De exemplu, 2 la puterea 1 supra 3 va fi mai mic decât 2 la puterea 2 supra 3,
pentru că 1 pe 3 este mai mic decât 2 pe 3, iar baza este supraunitară.
Însă 1 supra 2 ridicat la 1 pe 3 va fi mai mare decât 1 pe 2 ridicat la 2 pe 3,
pentru că în acest caz baza 1 pe 2 este subunitară.