Transcript: Puterea cu exponent natural a unui număr natural

În continuare vom învăța despre puterea cu exponent natural a unui număr natural.
Și haideți să începem cu ceva cunoscut și să facem acest calcul.
Avem 2 plus 2 plus 2.
Putem să scriem mai simplu această sumă.
Sigur, avem 2 ori 3 și obținem rezultatul 6.
Dacă însă în loc de operația de adunare trecem în mulțire,
vom avea 2 ori 2 înmulțit cu 2.
Ei bine, și această scriere are o notație prescurtată.
Și anume, vom trece aici 2 și deasupra vom trece un 3 mai mic.
Și citim 2 la puterea a 3-a sau mai simplu 2 la a 3-a.
Cât obținem?
2 ori 2 este 4, ori 2 este 8.
Ce am obținut aici, 2 la a 3-a, reprezintă de fapt puterea cu exponent natural a unui număr natural.
Și acum, mare atenție!
2 la a 3-a nu este același lucru cu 2 ori 3.
Și poate că unii dintre voi suntest tentați să faceți acest calcul când vedeți 2 la a 3-a,
să spuneți, a bun, este egal cu 2 ori 3.
Nu e adevărat.
2 la a 3-a este 8, în timp ce 2 ori 3 este 6.
Clar, vorbim de numere diferite.
Ce denumiri folosim?
Numarul care apare aici se numește baza, baza puterii,
iar numarul de deasupra se numește exponentul puterii.
Poate că în manuale veți întâlni și această formulă a la puterea n,
unde a și n sunt numere naturale, n mai mare sau egal cu 2.
Păi, cu cât este egal?
Avem, de fapt, a înmulțit cu a, înmulțit cu a și așa mai departe,
înmulțit cu a de câte ori de n mici ori.
Puteți, evident, să rețineți această formulă,
care descrie regula de calcul a puterilor.
Și acum, haideți să facem în continuare și alte exemple
și să luăm, de exemplu, 3 la puterea a 2-a.
Ce avem?
Păi, numarul de aici, adică baza, ne arată factorul care apare la înmulțire,
iar exponentul ne arată de câte ori scriem acest factor,
adică avem 3 înmulțit cu 3, care ne dă 9.
Din nou, atragem atenția asupra faptului că 3 la a 2-a
nu este același lucru cu 3 ori 2.
Păi să calculăm.
3 la a 2-a este 9, am văzut deja, în timp ce 3 ori 2 este 6.
Clar, vorbim de numere diferite.
Încă un exemplu.
Să facem acum 3 la a 3-a.
Avem, de fapt, pe 3 înmulțit cu 3, înmulțit cu 3, da?
Deci factorul 3 ne apare de 3 ori.
Și avem 3 ori 3, 9 ori 3, 27.
Bun, iarăși, haideți să trecem aici semnul de exclamare,
pentru că 3 la a 3-a nu este același lucru cu 3 ori 3.
27 nu este același lucru cu 9.
Încă un exemplu.
Am avut 3 la a 2-a, 3 la putere a 3-a.
Să facem și 3 la putere a 4-a.
Ce trebuie să facem?
3 trebuie să apară scris ca factor și îl vom scrie de 4 ori.
Deci 3 ori 3 ori 3 și mai trebuie încă o dată ori 3.
Avem 1, 2, 3, 4 factori, toți egali cu 3.
Cât obținem?
Păi 3 ori 3 ne dă 9 înmulțit cu 9, adică 8, 10 și 1.
Iarăși e ușor de văzut faptul că 3 la a 4-a nu este același lucru cu 3 ori 4.
Aici avem 81 în timp ce aici avem 12.
Un alt exemplu.
Să calculăm 5 la putere a 2-a.
Baza este 5, are exponentul este 2.
Ce trebuie să facem?
Factorul 5 apare scris de 2 ori.
Deci avem 5 înmulțit cu 5.
Și obținem 25.
Din nou facem observația că 5 la a 2-a nu este același lucru cu 5 înmulțit cu 2.
Aici obținem 25 în timp ce aici avem 5 ori 2, adică 10.
Clar vorbim de numere diferite.
Să calculăm acum și 5 la a 3-a.
Pe 5 trebuie să apară factorul de 3 ori.
Deci avem 5 ori 5 ori 5.
5 ori 5 ne dă 25.
Înmulțit cu 5 ne dă 125.
Iarăși, haide să scriem.
5 la a 3-a este diferit de ce produs?
De produsul 5 înmulțit cu 3.
Aici avem 125 în timp ce aici avem 15.
Avem numere diferite.
Ce e ușor de observat folosindu-ne de aceste exemple?
În cazul puterilor, numerele cresc mult mai rapid.
Iată, 5 la a 2-a 25, 5 la a 3-a deja 125.
În timp ce în aceste situații creșterea este mult mai lentă.
De la 10 am ajuns la 15.
Deci putem să reținem faptul că atunci când vorbim de puteri, vorbim de o creștere rapidă.
Încă un exemplu, 4 la a 7-a.
Baza este 4, exponentul este 7.
Vrem ca factorul 4 să ne apară scris de câte ori?
De 7 ori.
Deci avem 4 ori 4 ori 4 înmulțit cu 4 înmulțit cu 4.
Și de cât avem? 1, 2, 3, 4, 5.
Ne mai trebuie 2 ori 4 ori 4.
Deci am scris factorul 4 de 7 ori.
Nu vom face calculul acestui număr, e clar că este un număr mare.
Dar putem să punem întrebarea, oare 4 la a 7-a este egal cu 4 înmulțit cu 7?
Nu, vorbim clar de numere diferite, pentru că 4 la a 7-a se vede cu ușurință
că este un număr mult mai mare decât 4 ori 7, adică decât 28.
Haideți acum să facem câteva exemple de puteri care au baza 0.
Să calculăm 0 la 2015.
Cu alte cuvinte, trebuie să scriem factorul 0 de 2015 ori.
Și avem așa 0 înmulțit cu 0 înmulțit și așa mai departe înmulțit cu 0.
Și aici avem 2015 factori.
Care este rezultatul?
Știm că orice număr înmulțit cu 0 ne dă 0.
Deci 0 la 2015 ne-a dat 0.
Bun, dar cât o fi atunci 0 la a doua?
Păi, pe 0 trebuie să trecem ca factor de două ori.
0 ori 0, adică ne dă 0.
La fel se întâmplă și cu 0 la a treia și așa mai departe.
De fapt, 0 la orice putere,
haideți să notăm acel exponent cu n, ne dă 0.
Oricare ar fi n, un număr natural, mai mare sau egal cu 1.
Nu am scris aici 0 la puterea a întâi?
Păi, 0 la a întâia, ce înseamnă?
Că trebuie să îl scriem pe 0, nu de 2015 orică aici, ci o singură dată.
Egal cu 0.
Că tot a venit vorba de numere cu, de puteri cu exponentul 1,
haideți să vedem cu cât este egal 2 la a întâia.
Păi, 2 la a întâia înseamnă că trebuie să scriem factorul 2 o singură dată.
Deci ne dă 2.
Cât este 3 la a întâia?
Păi, ne dă 3.
La fel, 4 la a întâia ne dă 4 și așa mai departe.
Analog și 1 la exponentul 1 ne dă tot 1.
Deci, haideți să scriem și această regulă,
că un număr natural ridicat la exponentul 1,
adică a, am trecut numărul natural respectiv, l-am notat cu a,
ridicat la exponentul 1 ne dă întotdeauna cât?
Păi, 2 la a întâia ne-a dat 2.
3 la a întâia ne-a dat 3.
Deci, a la a întâia o să ne dea a.
Oricare ar fi a, un număr natural, chiar putem să scriem mai mare sau egal cu 0.
Am văzut că dacă a este 0, avem 0 la a întâia.
Iată, care ne dă 0.
Deci, a era egal cu 0.
Am discutat de puteri care au baza 0.
Ce se întâmplă însă când avem exponentul egal cu 0?
Haideți să vedem cu cât este egal 2 la puterea 0.
Și nu vom da aici o explicație riguroasă din punct de vedere matematic,
ci mai mult una intuitivă.
Și pentru aceasta vom calcula succesiv 2 la a patra,
2 la a treia, 2 la a doua,
deci observăm că exponenții descresc,
2 la a întâia și 2 la 0.
2 la a patra, cu cât este egal?
Avem 2, trebuie să apară factorul 2 de 4 ori,
deci 2 ori 2, ori 2 ori 2.
Avem 4 mulțit cu 4, adică 16.
2 la a treia, avem 2 înmulțit cu 2, înmulțit cu 2,
2 apare de 3 ori și ne dă 8.
2 la a doua, avem 2 ori 2, adică 4.
Haideți să notăm aici.
Deci 16 urmat de 8, aici avem 4
și aici avem 2 la a întâia, am văzut este 2.
Și trebuie să vedem cât este 2 la 0.
Ce observăm?
Pentru a ajunge de la 16 la 8, am împărțit de fapt la 2.
De la 8 la 4 trebuie să împărțim la 2.
De la 4 la 2, din nou împărțim la 2.
Deci de la 2 la 2 la 0 trebuie să împărțim în continuare la 2.
Asta înseamnă că, să ștergem aici,
2 împărțit la 2 ne dă de fapt 1.
Cu alte cuvinte, 2 la 0 este egal cu 1.
Putem să ștergem semnul de întrebare și venim și notăm egal 1.
Haideți să ștergem aici.
Și să scriem regula pe care am obținut-o.
Și anume că orice număr ridicat la puterea 0,
pentru că iată și 3 la 0 este 1 și 4 la 0 este 1,
deci a la puterea 0 este egal cu 1,
oricare ar fi a număr natural mai mare sau egal cu 1.
Și 1 la 0 ne dă tot 1.
Vedeți că aici am evitat cazul în care a este egal cu 0.
Nu am scris ca mai sus a mai mare sau egal cu 0,
ci am trecut a mai mare sau egal cu 1.
Ce se întâmplă când avem 0 la 0?
Haideți să vedem.
În această situație, 0 la puterea 0.
Cu cât este egal?
Poate unii dintre voi ați putea să-mi spuneți că ne ghidăm după această regulă.
Pentru că 0 la N ne dă 0 înseamnă că și 0 la 0 ne dă tot 0.
Deci 0 la 0 egal 0.
Sau alții ar putea să-mi spună că ne ghidăm după această regulă.
0 la 0 ne dă de fapt 1.
Deci 0 la 0 poate să fie egal și cu 1.
Să știți că și matematicienii au păreri împărțite în ceea ce privește acest caz de 0 la 0.
De aceea, pentru că încă rămâne un semn de întrebare aici, spunem că acest caz este 1-ul nedefinit.
Bun.
Prin urmare, haideți să reținem aceste reguli.
Prima regulă care ne spune că 0 la N este 0, oricare ar fi exponentul un număr natural diferit de 0.
A la exponentul 1 este A, oricare ar fi A număr natural.
Orice bază ridicată la puterea 0 ne dă 1, atât timp cât baza nu este 0, pentru că 0 la 0 este un caz nedefinit.
Și dacă vreți, mai putem să adăugăm o regulă foarte simplă.
Cu cât este egal 1 la un exponent?
Păi, trebuie să avem, de fapt, factori toți egali cu 1 și să avem N factori, 1 ori 1 ori 1 și așa mai departe.
De fapt, ne dă 1.
Oricare ar fi exponentul N mai mare sau egal cu 0.
Am văzut că 1 la 0, iată, ne dă 1.
Cu alte cuvinte, haideți să reținem aceste reguli pe care le-am scris și să reținem și cum calculăm o putere.
De exemplu, 2 la 5 nu este egal cu 2 ori 5, ci înseamnă 2 ori 2 ori 2 ori 2.
Scriem numărul 2 de 5 ori și rezultatul este 32.