Transcript: Proprietățile logaritmilor (teorie)

În această lecție vom discuta despre proprietățile logaritmilor. Prima proprietate se referă la logaritmul unui produs. Acesta este egal cu suma logaritmilor factorilor. Așadar logaritm în baza A din x or y este egal cu logaritm în baza A din x plus logaritm în baza A din y.
Pentru a demonstra această proprietate voi nota cu alfa logaritm în baza A din x și cu beta logaritm în baza A din y. Dacă logaritm în baza A din x este egal cu alfa, atunci această relație se poate scrie exponențial, astfel A la puterea alfa este egal cu x.
Dacă logaritm în baza A din y este beta, atunci A la puterea beta este egal cu y.
Acum vom calcula produsul x or y și obținem A la alfa înmulțit cu A la puterea beta, egal în continuare cu A la puterea alfa plus beta. Atunci când înmulțim două puteri cu aceeași bază, exponenții se adună.
Iar acum vom calcula logaritm în baza A din x or y. Obținem logaritm în baza A, în loc de x or y avem A la puterea alfa plus beta.
Am văzut în lecția trecută că atunci când avem logaritmul unei puteri a bazei, acesta este egal cu exponentul puterii. Mai exact are loc formula logaritm în baza A din A la n este egal cu n.
Aplicăm și aici această formulă și obținem rezultatul alfa plus beta. Dar alfa este logaritm în baza A din x, iar beta este logaritmul în baza A din y.
Iată așadar am arătat că logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor. În cazul în care avem un produs de n factori, atunci logaritmul acestui produs este o sumă de n termeni.
Următoarea proprietate se referă la logaritmul unui raport. Logaritm în baza A din x supra y este egal cu logaritm în baza A din x minus logaritm în baza A din y.
Deci logaritmul unui raport este egal cu diferența dintre logaritmul numărătorului și cel al numitorului.
Pentru a demonstra această proprietate, voi nota cu alfa logaritm în baza A din x și cu beta logaritmul în baza A din y.
Dacă logaritmul în baza A din x este egal cu alfa, atunci A la puterea alfa este egal cu x.
La fel, logaritmul în baza A din y este beta, prin urmare A la puterea beta este egal cu y.
Acum vom calcula raportul x supra y.
Avem A la puterea alfa supra A la puterea beta.
Când împărțim două puteri cu aceeași bază, exponenții se scad, așadar obținem A la puterea alfa minus beta.
Acum vom calcula logaritmul în baza A din x supra y.
Și avem logaritmul în baza A.
În loc de x supra y, avem A la puterea alfa minus beta.
Avem din nou logaritmul unei puterea bazei, acesta este egal cu exponentul puterii, așadar cu alfa minus beta.
Alfa este logaritmul în baza A din x, iar beta era logaritmul în baza A din y.
Iată așadar că am demonstrat și a doua proprietate.
Logaritmul în baza A din x supra y este egal cu logaritmul în baza A din x minus logaritmul în baza A din y.
A treia proprietate.
Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponentul puterii și logaritmul bazei puterii.
Mai putem spune că exponentul trece în fața logaritmului.
Așadar logaritmul în baza A din x la n este egal cu n logaritmul în baza A din x.
Pentru a demonstra această proprietate voi nota cu alfa logaritmul în baza A din x.
Rezultă A la puterea alfa egal cu x.
Și acum voi calcula x la puterea n.
Acesta va fi egal cu A la alfa totul la n.
Egal cu A la alfa n.
Și acum calculăm logaritmul în baza A din x la n.
Egal cu logaritmul în baza A din A la alfa n.
Egal în continuare cu alfa n.
Sau cu n ori alfa.
Dar alfa era logaritmul în baza A din x.
Am demonstrat astfel și a treia proprietate.
Logaritmul în baza A din x la n este egal cu n logaritmul în baza A din x.
A patra proprietate se referă la schimbarea bazei logaritmilor.
De cele mai multe ori, în practică, se folosesc logaritmi decimali.
De exemplu, în astronomie, pentru a calcula strălucirea unei stele,
se foloseste logaritmul decimal al energiei de radiație.
Și atunci apare necesitatea schimbării bazei logaritmului.
În continuare vom demonstra formula cu ajutorul căreia vom exprima logaritmul în baza A al unui număr x
în funcție de logaritmul său într-o altă bază B.
Are loc formula logaritmul în baza A din x egal cu logaritmul în baza B din x
înmulțit cu logaritmul în baza A din B.
Demonstrație.
Notez cu beta logaritmul în baza B din x
și cu gamma logaritmul în baza A din B.
Deci logaritmul în baza B din x este beta.
De aici va rezulta că B la puterea beta este egal cu x
sau x egal cu B la puterea beta.
Iar logaritmul în baza A din B este gamma.
Prin urmare B este egal cu A la puterea gamma.
Din aceste două relații obținem că x este egal
în locul lui B voi scrie A la gamma
și totul la beta.
Egal în continuare cu A la puterea gamma beta.
Dacă x este egal cu A la puterea gamma beta
atunci conform definiție logaritmului
are loc relația logaritm în baza A din x
este egal cu gamma beta.
În consecință am demonstrat că logaritmul în baza A din x
este egal cu gamma beta sau beta gamma
adică logaritm în baza B din x
înmulțit cu logaritm în baza A din B.
Deci proprietatea numărul 4 este demonstrată.
În cazul în care x este egal cu A
atunci această relație se va scrie
logaritm în baza A din A
este egal cu logaritm în baza B din A
ori logaritm în baza A din B.
Dar logaritm în baza A din A este 1
și avem 1 egal cu logaritm în baza B din A
ori logaritm în baza A din B.
De aici rezultă că logaritm în baza A din B
este egal cu 1 supra logaritm în baza B din A.
Este bine să rețineți și această formulă.
Acum înlocuind logaritm în baza A din B
în această relație se obține următoarea formulă.
Din 1 și 2 rezultă că logaritm în baza A din x
este egal cu logaritm în baza B din x
ori logaritm în baza A din B.
Dar logaritm în baza A din B este 1 supra logaritm în baza B din A.
Așadar putem să scriem supra logaritm în baza B din A.
Aceasta este o altă formulă de schimbare a bazei logaritmului.
Pe aceasta o vom folosi în rezolvarea exercițiilor
deoarece este mai ușor de reținut
având în vedere că avem un raport de 2 logaritm cu aceiași bază.
Iată, la numărător avem logaritm în baza B
iar la numitor avem de asemenea un logaritm în baza B.
Pentru a reține mai ușor argumentul logaritmilor
iată un mic indiciu.
Acest număr x este scris puțin mai sus.
Așadar el va fi argumentul logaritmului de la numărător
iar numărul A este scris puțin mai jos.
În consecință acesta va fi argumentul logaritmului de la numitor.
Acesta a fost doar un mic indiciu pentru a reține mai ușor această formulă.
Haideți în continuare să facem un exemplu.
Vom calcula logaritmul în baza 3 din 12.
Pentru aceasta vom face trecerea de la logaritmul în baza 3
la logaritmul în baza 10.
Folosim formula de mai sus
și avem logaritm în baza 10 din 12
adică logaritm decimal din 12
supra logaritm decimal din 3.
Există două baze cu care lucrează calculatoarele științifice.
Baza 10 și baza E.
Așadar atunci când dorim să calculăm logaritm în baza 3 din 12
cu ajutorul calculatorului de buzunar
nu putem face acest lucru în mod direct.
Va trebui mai întâi să trecem logaritmul din baza 3
fie într-un logaritm în baza 10
fie folosind logaritmi naturali.
Haideți să vedem cum funcționează.
Bănuiesc că ați folosit cu toții până acum un calculator științific.
Observăm că acesta are doar două butoane pentru logaritm.
Acesta este logaritmul decimal
adică logaritmul cu baza 10
iar acesta este logaritmul natural
având baza numărul E.
Pentru a verifica că acesta este într-adevăr logaritmul decimal
putem să facem un mic test.
De exemplu, logaritm decimal din 100
ar trebui să fie egal cu 2
pentru că 10 la 2-a este 100.
Haideți să verificăm.
Iată, într-adevăr, logaritm decimal din 100 este egal cu 2.
Iar acum, pentru a calcula logaritm în baza 3 din 12
mai întâi vom calcula logaritm decimal din 12.
Iată.
Vom considera doar primele patru decimale.
Avem așadar 1,0791
iar acum trebuie să calculăm logaritm decimal din 3.
Avem 0,4771.
Acum, pentru a calcula logaritmul în baza 3 din 12
trebuie să facem raportul celor două valori obținute.
1,0791
împărțit la 0,4771
și obținem aproximativ 2,26.
Putem să facem proba ca să verificăm.
Ar trebui ca numărul 3 ridicat la această putere să ne dea 12.
Nu vom obține exact valoarea 12 pentru că am folosit doar patru decimale
dar o să obținem o valoare foarte apropiată de 12.
Iată, 3 ridicat la puterea 2,2617
este egal cu 11,99.
Cu cât folosim mai multe decimale, cu atât rezultatul este mai exact.
În continuare să mai vedem o ultimă formulă logaritmică.
Logaritmul în baza a la n din x este egal cu 1 supra n ori logaritmul în baza a din x.
Pentru a demonstra această proprietate vom folosi formula de schimbare a bazei logaritmilor.
Logaritmul în baza a la n din x
se va scrie în funcție de logaritm în baza a, astfel
avem logaritm în baza a din x supra logaritm în baza a din a la n.
Am făcut așadar trecerea de la baza a la n la baza a folosind proprietatea numărul 4.
Egal cu logaritm în baza a din x.
Logaritmul unei putere a bazei este egal cu exponentul puterii, așadar la numitor obținem n.
Egal în continuare cu 1 supra n înmulțit cu logaritm în baza a din x.
Așadar am demonstrat și ultima formulă logaritmică.
În clipurile următoare vom face calcule cu logaritm aplicând proprietățile învățate în această lecție.