Transcript: Proprietăţile integralei nedefinite

În acest videoclip voi prezenta niște proprietăți ale integralei nedefinite care sunt esențiale în calculul integralelor.
Aceste proprietăți au corespondent în proprietățile derivatelor.
Prima proprietate se numește proprietatea de aditivitate a integralei nedefinite și, într-un limbaj mai puțin riguros, această proprietate ne spune că integrala sumei este egală cu suma integralelor.
Vă spuneam că aceste proprietăți sunt analoage cu proprietățile derivatei.
Acolo aveam derivata sumei este egală cu suma derivatelor.
La integralele nedefinite, integrala sumei este egală cu suma integralelor.
A doua proprietate nu are un nume specific și ea ne spune că o constantă nenulă poate trece în fața integralei.
Proprietatea similară de la derivate ne spunea că orice constantă reală trece în fața derivatei.
La integralele nedefinite avem că orice constantă reală cu care se înmulțește funcția trece în fața integralei dacă, evident, această constantă este diferită de zero.
A treia proprietate este, de fapt, o consecință a primelor două proprietăți.
Se mai numește și proprietatea de linearitatea integralei nedefinite.
Aveam și proprietatea de linearitatea derivatei, care era similară.
Vedeți că de data aceasta avem și o sumă de funcții și produs dintre numere reale și funcții.
Suma integrală a sumei se transformă în suma integralelor și, în plus, constantele trec în fața integralelor.
Aici, ca și restricție legată de constantele alfa și beta, avem că acestea două nu pot fi simultan nule.
În limbaj matematic, aceasta se scrie ca alfa pătrat plus beta pătrat diferit de zero.
În continuare, voi demonstra proprietatea de aditivitatea integralei nedefinite.
Enunțul complet și riguros matematic al acestei proprietăți este următorul.
i este un interval din mulțimea numerelor reale și f și g sunt două funcții definite pe i cu valori în R care admit primitive pe i.
În aceste condiții, funcția f plus g definită pe i cu valori în R admite primitive pe i și are loc relația integrală din f dx plus g dx dx este egală cu integrală din f dx dx plus integrală din g dx dx.
Observăm că de fapt în această proprietate avem de demonstrat două lucruri.
În primul rând că f plus g admite primitive pe i și apoi avem de demonstrat această relație de egalitate.
Pentru a demonstra că f plus g admite primitive pe i, pornim de la ceea ce ni se dă, adică de la faptul că funcțiile f și g admit primitive pe i.
Dacă f admite primitive pe i, înseamnă că există f mare definită pe i cu valori în R, f mare derivabilă și f mare derivat de x egal cu f mic de x pentru orice x din i.
Aceasta este definiția funcției care admite primitive.
G la rândul ei admite primitive pe i, înseamnă că există g mare definită pe i cu valori în R, astfel încât g să fie derivabilă pe i și g mare derivat de x să fie egal cu g mic de x pentru orice x din i.
Ne propunem să arătăm că f mare plus g mare este o primitivă a lui f mic plus g mic.
Dacă arătăm acest lucru, înseamnă că funcția f mic plus g mic admite primitive.
Pentru ca f mare plus g mare să fie o primitivă a lui f mic plus g mic pe i, trebuie că domeniul ei de definiție să fie i, ceea ce este adevărat pentru că și f și g sunt definite pe i cu valori în R, înseamnă că f plus g va fi definită tot pe i cu valori în R.
Amintiți-vă ce înseamnă suma a două funcții.
Și acum mai avem de verificat cele două condiții din definiția funcției care admite primitive.
Primitiva trebuie să fie derivabilă, condiția a.
Și pentru că f este derivabilă pe i și g este derivabilă pe i, rezultă că f plus g este derivabilă pe i.
Suma a două funcții derivabile este o funcție derivabilă.
Și condiția b trebuie să arătăm că f plus g derivat de x este egal cu f plus g mic de x pentru orice x din i.
Și atunci, f plus g derivat de x, derivata sumei este egală cu suma derivatelor, știm de anul trecut.
Deci va fi egal cu f derivat de x plus g derivat de x.
F derivat de x, știm că este egal cu f mic de x.
G derivat de x este egal cu g mic de x.
Adică vom avea f mic de x plus g mic de x, care este, din definiția sumei a două funcții, egal cu f plus g de x.
Și asta am uitat eu să scriu aici, că este adevărat pentru orice x din i.
Pentru că f mare plus g mare verifică atât condiția a cât și condiția b din definiția primitivei unei funcții,
înseamnă că f mare plus g mare este primitiva funcției f mic plus g mic pe i.
Deci, f mic plus g mic admite primitive pe i.
Vom continua cu demonstrarea relației de egalitate.
Știm că f mic admite primitive pe i.
Am notat cu f mare o primitivă a lui f mic.
G mic admite primitive pe i.
Am notat cu g mare o primitivă a lui g mic.
Și în prima parte am demonstrat că f mare plus g mare este o primitivă a lui f mic plus g mic.
Din moment ce f mare este o primitivă a lui f mic,
atunci integrală nedefinită din f de x de x este egală cu f mare de x plus c.
Notam această relație cu 1.
G mare este o primitivă a lui g mic.
Înseamnă că integrala nedefinită din g de x de x,
care este egală cu munțimea primitivelor funcției g mic,
va fi egală cu g mare de x plus c.
Notam această relație cu 2.
Pentru că f mare plus g mare este o primitivă a lui f mic plus g mic,
integrală din f mic plus g mic de x de x este egală cu f mare plus g mare de x plus c.
Notam această relație cu 3.
De la definiția sumei dintre două funcții,
știm că pentru orice x din I,
f mic plus g mic de x este egal cu f mic de x plus g mic de x.
Notăm această relație cu 4.
Și că pentru orice x din I,
f mic de x plus g mic de x este egal cu f mic plus g mic de x.
Relația 5.
Ținem cont de faptul că
mulțimea constantelor plus mulțimea constantelor
este tot mulțimea constantelor,
pentru că aici avem toate numerele reale,
toate numerele reale,
oricum adunăm două numere reale,
obținem întreaga mulțimea numerelor reale.
Notăm această relație cu 6.
Pentru a demonstra egalitatea,
pornim de la membrul drept al egalității,
adică integrală din f de x de x plus integrală din g de x de x.
Pe baza lui 1 și 2,
această sumă este egală cu f mare de x plus c
plus g mare de x plus c.
În această expresie,
știm că c plus c este egal cu c din relația 6,
deci este egal mai departe cu
f mare de x plus g mare de x
și înlocuim c plus c cu c.
Egal mai departe cu.
Acum ne folosim de relația 5
și scriem f mare de x plus g mare de x
ca fiind egal cu f mare plus g mare de x.
Continuăm
și această expresie este egală pe baza lui 3.
Aici avem membrul drept de la relația 3,
care este egal cu integrală din f plus g de x de x
și subintegrală ne folosim de definiția sumei
dintre două funcții, adică de relația 4
și va fi egal cu integrală din f de x plus g de x de x.
Observăm că am ajuns la membrul stâng al egalității,
deci am pornit de la membru drept și am ajuns cu egalități
până la membrul stâng, înseamnă că relația de egalitate este adevărată.
Trecem acum la a doua proprietate.
Dacă o formulăm riguros, enunțul ei este
Dacă f este definită pe i cu valori în R și admite primitive pe i
iar alfa este o număr real,
atunci alfa f admite primitive pe i
și dacă alfa este diferit de zero,
avem că integrală din alfa f de x de x
este egală cu alfa ori integrală din f de x de x.
Pentru demonstrarea ei pornim de la faptul că f mic admite primitive pe i,
ceea ce conform definiției înseamnă că există f mare
definită pe i cu valori în R,
o primitivă a funcției f mic.
Cu alte cuvinte, f mare este derivabilă pe i
și f mare derivat de x este egal cu f mic de x
pentru orice x din i.
Arătăm că alfa f mare este o primitivă alui alfa f mic
pentru a demonstra că alfa f mic admite primitive pe i.
Evident că din moment ce f mare este derivabil,
atunci și alfa f mare este derivabilă pe i
și alfa f mare derivat
pentru că constanta trece în fața derivatei
va fi egală cu alfa ori f mare derivat de x.
f mare derivat de x este egal cu f mic de x
pentru orice x din i.
Deci vom avea că alfa f mare derivat de x
este egal cu alfa ori f mic de x
care este egal mai departe cu alfa f de x
pentru orice x din i
și pentru că alfa f mare verifică condițiile a și b
înseamnă că alfa f mare este o primitivă alui alfa f mic.
Demonstrăm acum că dacă alfa este diferit de zero
are loc această egalitate.
Ne folosim de faptul că f mare este o primitivă a funcției f mic
și atunci are loc relația 1,
că alfa f mare este o primitivă a funcției alfa f mic
și atunci are loc relația 3
și de faptul că alfa înmulțită cu mulțimea constantelor
când alfa este un număr real nenul
este mulțimea constantelor.
Aceasta este relația 2.
Pornim din membrul drept a legalității
și ajungem în membrul stâng a legalității
folosindu-ne de relațiile 1, 2 și 3.
Urmăriți calculul pe care l-am făcut
sau încercați să faceți singuri calculul.
Să vedem ce se întâmplă dacă alfa este zero.
Zero înmulțit cu o funcție ne dă zero
pentru orice x din domeniul de definiție
și atunci dacă calculăm în membrul stâng al acestei egalități
obținem integrală din zero de x
care este egală cu mulțimea constantelor
pentru că orice constantă derivată ne dă zero.
În membrul drept vom avea zero ori integrală
care este egală cu zero ori mulțimea primitivelor funcției
zero înmulțit cu această paranteză este zero
ceea ce înseamnă că membrul stâng este egal cu mulțimea constantelor
membrul drept este egal cu zero
deci relația de egalitate nu este adevărată.