Transcript: Proprietațiile progresiei geometrice (teorie)

Salut! Discutăm în lecția aceasta despre proprietățile progresiei geometrice.
Avem această progresie geometrică notată cu B1, B2, BN.
Am notat rația progresiei geometrice cu Q, unde Q este numă real diferit de 0,
iar în partea dreaptă am scris un exemplu de progresie geometrică, ce a fost prezentat și în lecția trecută.
Spuneam atunci că dacă un elev se înscrie pe site-ul lecții virtuale,
apoi a doua zi el recomandă site-ul altor doi elevi,
apoi fiecare dintre aceștia recomandă mai departe site-ul altor două persoane,
continuând în acest mod se va ajunge la șirul de forma 1, 2, 4, 8, 16, 32 și așa mai departe.
Aceasta este o progresie geometrică cu rația egală cu 2.
Am fi putut să scriem acest șir și cu ajutorul puterilor lui 2,
astfel avem 2 la 0, 2 la 1, 2 la 2, 2 la 3 și așa mai departe.
Pentru început ne propunem să găsim formula termenului general al unei progresii geometrice.
Primul termen al progresiei este B1.
Al doilea termen se obține înmulțind primul termen cu rația.
Al treilea termen B3 se obține înmulțind al doilea termen cu rația Q și egal mai departe.
B2 este B1 ori Q, ori Q, egal cu B1 ori Q la pătrat.
B4 este egal cu B3 ori Q și egal mai departe cu B1 ori Q la pătrat, ori Q, egal cu B1 ori Q la puterea 3a.
Așa mai departe, Bn.
Haideți să ne uităm puțin la acești indici.
Observăm că în formula lui B2 avem Q la puterea 1a,
în formula termenului B3 avem Q la puterea 2a,
în formula termenului B4 avem Q la puterea 3a,
așadar Bn va fi egal cu B1 ori Q la puterea n-1.
Aceasta va fi formula termenului general al unei progresii geometrice
în care se cunoaște primul termen B1 și rația Q.
Spunem așadar că o progresie geometrică este bine determinată dacă se cunosc primul termen și rația.
Demonstrația acestei formule se face prin inducție matematică și o lăsăm ca și exercițiu.
Acum să revenim la acest exemplu și haideți să calculăm al 15-lea termen al acestui șir.
În cazul acestui șir, primul termen B1 este egal cu 1, rația este egală cu 2.
Pentru a vedea câți elevi s-ar înscrie pe site în a 15-a zi, trebuie să calculăm termenul de rang 15.
Așadar B15 va fi egal cu B1, adică 1 ori rația 2 la puterea 15-1 și egal cu 2 la puterea 14.
Putem să lăsăm rezultatul sub această formă, dar pentru simpla mea curiozitate o să calculez 2 la puterea a 14-a.
Iată 16.384.
Egal cu 16.384.
Prin urmare, în a 15-a zi s-ar înscrie 16.384 de elevi dacă acest algoritm s-ar continua.
În continuare trecem la o altă proprietate a progresiilor geometrice.
Să ne uităm puțin la acest exemplu, mai exact la primii trei termeni ai acestei progresii.
Observăm că termenul din mijloc, 2, la puterea a 2-a este egal cu 1 ori 4.
Apoi dacă ne uităm la următorii trei termeni, 2, 4 și 8, observăm că 4 la puterea a 2-a este egal cu 2 ori 8.
Pentru că, iată, 16 este egal cu 16.
Apoi 8 la puterea a 2-a este egal cu 4 ori 16.
Observăm așadar, într-o progresie geometrică, pătratul fiecărui termen, începând cu al doilea, este egal cu produsul termenilor alăturați.
În cazul general, acest lucru se va scrie astfel, bn la pătrat este egal cu bn-1 ori bn+.
Așadar, pătratul oricărui termen, începând cu al doilea, va fi egal cu produsul vecinilor săi.
Demonstrăm această formulă.
Noi știm că, în orice progresie geometrică, raportul a doi termeni consecutivi este constant.
Așadar, raportul bn supra bn-1 este egal cu Q.
Din această relație, exprimăm pe bn, acesta va fi egal cu bn-1 ori Q.
De asemenea, raportul bn-1 supra bn va fi egal cu Q, pentru că și aceștia sunt doi termeni consecutivi.
Din această relație, exprimăm pe bn, acesta va fi egal cu bn-1 supra Q.
Acum, înmulțim aceste două relații membru cu membru.
Bn ori bn este egal cu bn la pătrat, egal cu bn-1 ori Q, ori bn-1 supra Q.
Se simplifică Q și obținem bn-1 ori bn-1.
Iată, așadar, am arătat că bn la pătrat este egal cu bn-1 ori bn-1.
Să reținem și această formulă.
Dacă avem trei termeni consecutivi într-o progresie geometrică, atunci pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul vecinilor săi.
Să continuăm cu o altă proprietate a progresiilor geometrice.
Mai întâi ne uităm la acest exemplu.
Observăm că 1 ori 32 este egal cu 2 ori 16 și egal cu 4 ori 8.
Putem să și scriem acest lucru.
1 ori 32 egal cu 2 ori 16 egal cu 4 ori 8.
Observăm așadar că într-o progresie geometrică produsul termenilor extrem este egal cu produsul termenilor egal depărtați de termenii extremi.
În cazul general, acest lucru se va scrie astfel.
b1 ori bn este egal cu b2 ori bn-1 egal așa mai departe cu bk ori bn-k plus 1.
Dacă bk este al caulea termen pornind de la stânga spre dreapta, atunci al caulea termen de la dreapta spre stânga este b-n-k plus 1.
Observăm că întotdeauna suma indicilor trebuie să fie egală cu n plus 1, așadar al caulea termen de la dreapta spre stânga este bn-k plus 1
ca să respectăm această regulă și anume suma indicilor să fie egală cu n plus 1.
Demonstrăm această relație.
Vom calcula produsul bk ori bn-k plus 1.
Haideți să ne reamintim formula termenului general al unei progresii geometrice.
bn este egal cu b1 ori q la puterea n-1.
Și aplicăm această formulă aici.
bk va fi egal cu b1 ori q la puterea k-1 ori bn-k plus 1 este b1 ori q la puterea n-k plus 1 minus 1.
Rămâne n-k.
Egal cu b1 ori b1 ori q la puterea...
Aici adunăm exponenții și obținem q la puterea n-1.
Egal.
Observăm că b1 ori q la n-1 este bn conform aceste formule și obținem în final egal cu b1 ori bn.
Iată de unde am pornit.
bk ori bn-k plus 1 este egal cu b1 ori bn.
Așadar am demonstrat această egalitate într-o progresie geometrică.
Produsul numerelor extreme este egal cu produsul numerelor egal depărtate de numerele extreme.
Și ultima proprietate a progresiilor geometrice ne propunem să deducem o formulă de calcul pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice.
Întâlnim două situații posibile.
Dacă rația este egală cu 1, atunci primul termen al progresiei este b1.
Al doilea termen este b1 ori 1, așadar b2 este egal cu b1.
Al treilea termen va fi și acesta egal cu b2, deci egal și cu b1, și așa mai departe.
Cu alte cuvinte, într-o progresie geometrică în care rația este egală cu 1, toți termenii sunt egali cu primul termen.
Prin urmare, suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice Sn va fi egală cu n ori b1, pentru că avem n astfel de termeni, toți egali cu b1.
Acum să vedem ce se întâmplă dacă rația este diferită de 1.
Să calculăm suma primilor n termeni. Aceasta va fi egală cu b1 plus b2 plus b3 și așa mai departe.
Voi scrie și penultimul termen bn-1 plus bn.
Haideți să înmulțim această relație cu Q.
Obținem QSn egal cu b1Q plus b2Q plus b3Q plus așa mai departe plus bn-1Q plus bn ori Q.
Acum scădem cele două relații membru cu membru.
Și obținem Sn-QSn egal.
Acum observăm că în membrul drept au loc niște reduceri de termeni, pentru că iată b2 este egal cu b1 ori Q, b3 este egal cu b2 ori Q, bn este egal cu bn-1 ori Q.
În momentul în care scădem aceste două relații membru cu membru, se reduc acești termeni.
b3 cu b2Q se va reduce și b3Q cu termenul de mai sus, la fel și bn-1, iar bn se reduce cu bn-1Q.
Și în final ne mai rămâne primul termen b1 și ultimul, acesta bn ori Q.
Acum dăm factor comun pe Sn.
Avem Sn pe lângă 1-Q egal cu b1-.
Pe bn o să-l scriem b1 ori Q la n-1.
Am aplicat formula termenului general.
Și mai avem ori Q egal cu b1-b1 ori Q, adunăm exponenții, obținem Q la n.
În continuare dăm factor comun pe b1 și avem b1 pe lângă 1-Q la n.
Și acum din această egalitate o să-l exprimăm pe Sn.
Sn va fi egal cu b1 pe lângă 1-Q la puterea n, supra 1-Q.
Aceasta va fi formula de calcul pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice.
Dacă dorim putem să scriem această formulă și altfel, b1 pe lângă Q la n-1, supra Q-1.
Și acum să revenim puțin la acest exemplu.
În cazul în care ne interesează câte persoane s-ar înscrie pe site-ul lecții virtuale în total, în cele 15 zile,
trebuie să calculăm suma primilor 15 termeni.
Așa cum am mai spus, primul termen b1 al progresiei este 1, rația progresiei este uneală cu 2
și atunci haideți să calculăm suma primilor 15 termeni S15.
Aplicăm această formulă.
b1 este 1 pe lângă 1- rația este 2, deci avem 2 la puterea 15, supra 1-2.
Egal cu 1-2 la puterea 15, supra minus 1 și egal cu 2 la 15, minus 1.
Am putea să lăsăm rezultatul sub această formă, așadar voi în exerciții în care aveți puteri foarte mari nu trebuie să faceți calculele finale.
Eu o să calculez totuși 2 la puterea 15.
2 la 15, iată 32.768 de elevi.
32.768 minus 1 și obținem 32.767 de elevi.
Și acum haideți să ne reamintim pe scurt principalele proprietăți ale progresiilor geometrice.
Iată, prima formulă este formula termenului general al unei progresii geometrice.
bn este egal cu b1 ori q la puterea n-1.
O altă proprietate importantă, în cazul în care avem 3 termeni consecutivi ai unei progresii geometrice,
pătratul numărului din mijloc este egal cu produsul numerelor alăturate.
Apoi o altă proprietate importantă, în orice progresie geometrică,
produsul numerelor extreme, b1 ori bn, este egal cu produsul numerelor egal depărtate de numerele extreme.
Iar pentru a calcula suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice, avem două posibilități,
în cazul în care rația este diferită de 1, formula de calcul va fi b1 pe lângă 1-q la n supra 1-q,
iar în cazul în care rația este egală cu 1, suma primilor n termeni va fi egală cu n ori b1.
Cam atât! Pa!