Transcript: Proprietăţi ale şirurilor care au limită - prima parte

În acest videoclip voi prezenta câteva proprietăți importante ale șirurilor care au limită.
Aceste proprietăți vă vor ajuta să înțelegeți mai bine conceptul de limită a unui șir și vor fi utilizate în aplicații.
Voi începe prin a vă reaminti definiția limitei unui șir. Vom avea nevoie de ea în demonstrarea și înțelegerea proprietăților.
Dacă avem un șir XN și L din R barat, atunci L este limita șirului XN dacă, în afara oricărei vecinătăți a lui L, se află cel mult un număr finit de termeni.
Restul termenilor, adică o infinitate de termeni, se vor găsi în vecinătate.
Proprietatea 1. Dacă XN este un șir de numere reale cu limita L din R barat, atunci prin adăugarea sau înlăturarea unui număr finit de termeni se obține un șir cu aceeași limită L.
Am reprezentat aici faptul că L este limita șirului XN. Termenii șirului XN i-am reprezentat cu albastru.
Dacă adăugăm un număr finit de termeni, de exemplu aici un termen, acolo un termen, încă un termen, un termen, un termen și încă câțiva în interiorul vecinătății,
atunci în afara lui V sunt mai mulți termeni, dar tot un număr finit, ceea ce înseamnă că și limita acestui nou șir va fi tot L.
Să vedem ce se întâmplă atunci când înlăturăm un număr finit de termeni ai șirului.
În această imagine avem termenii unui șir care are limita 2.
Din acest șir înlăturăm primii 10 termeni. Observăm că și acest șir are tot limita 2.
Până la urmă, prin adăugarea sau înlăturarea unui număr finit de termeni, în afara lui V sunt mai mulți sau mai puțini termeni, dar tot un număr finit.
O observație, dacă adăugăm sau înlăturăm un număr infinit de termeni, adică nu un număr finit, atunci proprietatea unu nu mai este adevărată.
De exemplu, considerăm șirul AN egal cu 1 pentru orice N, limita șirului AN este 1.
Dacă la elementele șirului AN adăugăm elementele unui șir BN, unde BN este minus 1 la puterea N pentru orice N, adăugăm o infinitate de termeni,
noul șir nu mai are limita.
Proprietatea a doua. Limita unui șir convergent, având termeni pozitivi, este pozitivă. Adică, dacă avem un șir XN convergent, adică care are o limita finită, și termenii șirului sunt toți pozitivi, atunci și limita trebuie să fie pozitivă.
Am reprezentat pe axă termenii șirului XN cu albastru.
Să nu uităm, din moment ce șirul are limita L, înseamnă că în afara oricărei vecinătăți a lui L trebuie să se găsească un număr finit de termeni ai șirului.
Să presupunem că limita nu este pozitivă. Asta înseamnă că L este un număr negativ.
L-am reprezentat la stânga lui zero.
În acest caz, există o vecinătate V a lui L care nu conține niciun termen al șirului.
Deci, în afara acestei vecinătăți se găsesc o infinitate de termeni ai șirului, ceea ce înseamnă că L nu va fi limita șirului.
Să luăm un exemplu. Șirul XN egal cu 3N minus 1 supra 3N plus 2 pentru orice N din N stelat.
Primul termen al șirului este 3 ori 1 minus 1, adică 2, supra 3 ori 1 plus 2, adică 5.
Al doilea termen este 5 pe 8, al treilea termen 8 pe 11 și așa mai departe.
Observăm că, de fapt, 3N minus 1 supra 3N plus 2 este mai mare decât 0 pentru orice N din N stelat.
Am reprezentat termenii acestui șir și observăm că și limita șirului este pozitivă.
O observație. Analog, limita unui șir convergent cu termen negativ este negativă.
Proprietatea 3. Dacă XN este un șir crescător cu limita L, unde L aparține lui R barat, atunci XN este mai mic sau egal cu L.
Cu alte cuvinte, limita unui șir crescător este mai mare sau egală decât termenii șirului.
Să demonstrăm această proprietate. Dacă L este egal cu plus infinit, este evident că toți termenii șirului sunt mai mici decât L.
Considerăm acum a doua situație, L număr real finit.
Cum XN este un șir crescător, rezultă că XN este mai mic sau egal cu XN pentru orice M și N numere naturale, N mai mic decât M.
Trecem la limita după M această inegalitate și vom obține că limita când M tinde la infinit din XN este mai mică sau egală decât limita când M tinde la infinit din XM.
Limita când M tinde la infinit din XM este egală cu L pentru că limita șirului XN este L, iar limita când M tinde la infinit din XN este chiar egal cu XN pentru că
XN depinde de N, nu depinde de M, atunci limita după M a unei expresii care depinde de N se comportă ca o constantă și aceste relații sunt adevărate pentru orice N.
Înseamnă că am obținut că XN este mai mic sau egal cu L pentru orice N.
Să verificăm această proprietate pe un exemplu.
Considerăm șirul XN egal cu 3N-1 supra 3N plus 1 pentru orice N din N stelat.
Acest șir este strict crescător.
Vă rog să opriți înregistrarea și să demonstrați că acest șir este strict crescător.
Probabil că vă amintiți că un șir strict crescător este șirul pentru care diferența dintre XN plus 1 și XN este mai mare decât 0 pentru orice N.
Limita acestui șir este 1 și putem observa că termenii șirului sunt mai mici decât 1.
Este adevărată și următoarea proprietate, proprietatea P4.
Dacă XN este un șir de numere reale descrescător cu limita L, atunci termenii șirului XN sunt mai mari sau egali cu L.
Cu alte cuvinte, limita unui șir care este descrescător este mai mică sau egală decât fiecare termen al șirului.
Demonstrația proprietății P4 este analoagă cu cea a proprietății P3.
Vom lua acum un exemplu.
Vom considera șirul XN egal cu minus N pe 4 pentru orice N natural mai mare sau egal cu 1.
Acest șir este strict descrescător pentru că XN plus 1 minus XN este egal cu minus paranteza N plus 1 supra 4
în loc de N am pus N plus 1 pentru că este XN plus 1 minus XN adică minus N pe 4
am făcut calculele, am ajuns la minus 1 supra 4 care este negativ pentru orice N
înseamnă că XN plus 1 este mai mic decât XN pentru orice N din N stelat
deci șirul este strict descrescător
să vedem cum arată termenii șirului
observăm că cel mai mare termen al șirului este primul termen și fiecare termen al șirului este mai mare decât termenul de rang următor
pentru că am demonstrat înainte că șirul este strict descrescător și observăm și de pe grafic acest lucru
înseamnă că limita șirului trebuie să fie mai mică decât toți termenii șirului
cum termenul general al șirului este minus N pe 4, limita șirului va fi minus infinit
pentru că singurul număr mai mic decât minus N pe 4 când N este natural diferit de 0 și tinde la plus infinit este minus infinit