Transcript: Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N

Prima proprietate, orice număr natural se divide cu 1 și cu el însuși, adică dacă avem un număr a mic, a va fi divizibil cu 1 și a va fi divizibil cu a.
O definiție foarte importantă, un număr natural P mai mare ca 1 se numește număr prim dacă se divide numai cu 1 și cu el însuși, adică are exact 2 divizori.
Să dăm câteva exemple.
Primul număr prim este 2 și el este și singurul număr prim par.
În continuare să vedem a doua proprietate a relației de divizibilitate.
O să începem cu un exemplu.
Numărul 30 se poate scrie 10 ori 3.
Înseamnă că 30 este divizibil cu 10.
Numărul 10 se poate scrie 2 ori 5.
Înseamnă că 10 este divizibil cu 2.
Numărul 30 putem să-l scriem atunci în locul lui 10 vom scrie 2 ori 5 totul înmulțit cu 3.
Deoarece înmulțirea este comutativă și asociativă putem să desfacem parantezele.
Și acum vom înmulți ultimii doi factori egal cu 2 ori 15 de unde rezultă că 30 va fi divizibil cu 2.
Adică dacă 30 este divizibil cu 10 și 10 este divizibil cu 2 înseamnă că 30 va fi divizibil și cu 2.
Această proprietate se mai numește și transitivitatea relației de divizibilitate.
Care poate fi scrisă astfel?
Fie a, b și c, trei numere naturale.
Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu c atunci a este divizibil cu c.
În continuare trecem la proprietatea 3-a.
Numărul 6 se scrie 3 ori 2.
Înseamnă că 3 divide pe 6.
Să scriem în continuare câțiva multiplii ai numărului 6.
Următorul multiplu al 6 este 12.
12 se scrie 3 ori 4.
Înseamnă că 3 divide și pe 12.
Dar 12 poate fi scris de asemenea 6 ori 2.
Înseamnă că 3 divide și pe 6 ori 2.
Următorul multiplu este 18.
18 înseamnă 3 ori 6.
Înseamnă că 3 divide pe 18.
18 se mai scrie și 6 ori 3.
Înseamnă că 3 divide și pe 6 ori 3.
Următorul multiplu este 24 care poate fi scris 3 ori 8.
Înseamnă că 3 divide și pe 24.
24 poate fi scris 6 ori 4.
Înseamnă că 3 divide și pe 6 ori 4.
Și așa mai departe veți observa că 3 divide toate numerele de forma 6 ori k unde k este un număr natural.
Această proprietate poate fi scrisă astfel.
Fie a și b două numere naturale.
Dacă a divide pe b, atunci a divide b ori k, oricare ar fi k un număr natural.
Continuăm cu a patra proprietate.
De exemplu numărul 10 se scrie 5 ori 2.
Înseamnă că 5 divide pe 10.
Numărul 15 se scrie 5 ori 3.
Înseamnă că 5 divide pe 15.
Haideți acum să adunăm aceste două numere.
10 plus 15 este egal cu 25.
Dar 25 se scrie 5 ori 5.
Înseamnă că 5 divide și pe 25.
Această proprietate poate fi enunțată astfel.
Fie a și b două numere naturale.
Dacă a divide pe b și a divide pe c, atunci a divide pe b plus c.
Și ultima proprietate a relației de divizibilitate.
Numărul 63 poate fi scris 7 ori 9.
Înseamnă că 7 divide pe 63.
63 poate fi scris și 3 ori 21.
De unde rezultă că 3 divide pe 63.
Dar numărul 63 poate fi scris și 21 ori 3.
Înseamnă că 21 divide pe 63.
Dar numărul 21 este tocmai produsul numerelor 7 și 3.
De unde rezultă că 7 ori 3 divide pe 63.
Această proprietate poate fi enunțată astfel.
Fie a, b și c trei numere naturale.
Dacă a divide pe b, c divide pe b și numerele a și c sunt prime între ele,
atunci produsul a or c divide pe b.