Transcript: Proprietatea de comutativitate

Această lecție este despre două proprietăți ale legilor de compoziție,
comutativitatea și asociativitatea.
De-a lungul anilor de școală v-ați întâlnit cu aceste proprietăți atunci când ați studiat
proprietățile unor operații pe care le-ați învățat.
În acest videoclip voi defini și exemplifica proprietatea de comutativitate.
Dacă avem o mulțime M nevidă pe care am definit o lege de compoziție,
în cazul acesta am notat cu stea legea de compoziție,
spunem că legea de compoziție stea este comutativă dacă
A stea B este egală cu B stea A pentru orice A și B din M.
Câteva exemple de legi de compoziție care sunt comutative.
Operația de adunare pe mulțimea numerelor naturale, întregi, raționale, reale, complexe,
este comutativă. Știm că A plus B este egal cu B plus A,
indiferent de unde provin elementele A și B,
din N, din Z, din Q, din R sau C.
Un alt exemplu de operație comutativă este operația de mulțirea numerelor,
indiferent de unde provin numerele, că este vorba de mulțimea numerelor naturale,
întregi, raționale, reale sau complexe.
Noi avem A or B este egal cu B or A.
În al treilea exemplu avem, de fapt, trei operații,
operația de reuniune, intersecție și diferență simetrică pe mulțimea părților lui M.
Această mulțime a părților lui M conține toate submulțimile lui M,
unde M este o mulțime oarecare nevida.
Noi avem că A reunit cu B este egal cu B reunit cu A,
A intersectat cu B este egal cu B intersectat cu A
și A delta B egal cu B delta A pentru orice două submulțimi ale lui M.
În următorul exemplu avem operația de adunare pe mulțimile matricilor,
vedeți că aici avem mai multe mulțimi,
mulțimile matricilor de tip MN cu elemente din
mulțimea numerelor naturale sau întregi sau raționale sau reale sau complexe.
Pentru oricare două matrici dintr-una din aceste mulțimi
are loc relația A plus B este egal cu B plus A.
Aceste exemple sunt foarte importante,
multe legi de compoziție se definesc cu ajutorul acestor operații.
În rezolvarea exercițiilor ne vom folosi de faptul că
toate aceste operații sunt comutative,
fără a fi nevoie să mai demonstrăm comutativitatea lor.
Vom continua cu câteva non-exemple, adică exemple de operații care nu sunt comutative.
Opriți înregistrarea video și încercați să vă reamintiți operații pe care le-ați studiat și care nu sunt comutative.
Operația de scădere pe mulțimea numerelor întregi, raționale, reale sau complexe este o operație necomutativă.
Dacă atunci când vrem să arătăm că operația este comutativă,
trebuie să arătăm că are loc relația A stea B egal cu B stea A pentru orice două elemente din mulțime.
În cazul în care vrem să arătăm că o lege de compoziție este necomutativă,
este suficient să găsim două elemente din mulțime
și să arătăm că A stea B este diferit de B stea A.
În cazul operației de scădere am luat elementele 2 și 3 care sunt din mulțimea numerelor întregi
și am arătat că 2 minus 3 este diferit de 3 minus 2, înseamnă că această operație este necomutativă pe Z.
Atunci când trebuie să arătați că o operație este necomutativă, acesta este modul în care ar trebui să procedați.
Al doilea non-exemplu este înmulțirea matricilor pătratice cu elemente din mulțimea numerelor complexe sau reale sau raționale sau întregi sau naturale.
Poate că v-ați amintit că operația de înmulțire a matricilor, atunci când poate fi definită, este necomutativă,
adică, în general, nu avem că A ori B este egal cu B ori A atunci când A și B sunt matrici.
Al treilea non-exemplu este operația de compunere definită pe mulțimea f de m,
f de m fiind mulțimea funcțiilor definite pe m cu valori în m,
atunci când m are cel puțin două elemente.
Probabil că v-ați amintit că operația de compunere a funcțiilor, atunci când poate fi definită, nu este comutativă,
adică, nu pentru orice două funcții avem că f compus cu g este egal cu g compus cu f.
O observație legată de proprietatea de comutativitate.
Dacă avem o mulțime nevidă care este finită, atunci comutativitatea operației sta pe m poate fi verificată pe tabla operației.
Legea de compoziție este comutativă dacă tabla operației este simetrică față de diagonala principală a acesteia.
Să luăm un exemplu ca să înțelegeți mai bine ce am spus eu aici.
Considerăm Z3, mulțimea claselor de resturi modulo 3, adică clasa de resturi 0, clasa de resturi 1 și clasa de resturi 2
și operația de adunare pe această mulțime.
Avem aici tabla operației și diagonala principală este diagonala principală pe care o știam noi de la Matrix.
Ce înseamnă simetrie față de diagonala principală?
Înseamnă că aici, linia 1 coloana 2 și pe linia 2 coloana 1 avem aceleași elemente.
Pe linia 1 coloana 3 și pe linia 3 coloana 1 din nou avem aceleași elemente.
Pe linia 3 coloana 2 și pe linia 2 coloana 3 avem din nou aceleași elemente.
Înseamnă că tabla acestei operații este simetrică față de diagonala principală, deci operația de adunare pe mulțimea Z3 este comutativă.
Să vedem acum cum trebuie să procedăm pentru a studia comutativitatea unei legi de compoziție definită pe o mulțime infinită.
Se consideră mulțimea M egală cu intervalul deschis 1 plus infinit și legea de compoziție cerc definită prin X compus cu Y este egal cu 2XY minus 2X minus 2Y plus 3 pentru orice XY din mulțimea M.
Se cere să se studieze comutativitatea acestei legi de compoziție.
Vom începe prin a scrie ce înseamnă comutativitatea legii compus.
Definiția proprietății de comutativitate ne spune că operația cerc este comutativă dacă și numai dacă A compus cu B este egal cu B compus cu A pentru orice A și B din mulțimea M.
Vom scrie acum această egalitate folosind definiția legii de compoziție din acest exercițiu.
Obținem 2AB minus 2A minus 2B plus 3 egal cu 2BA minus 2B minus 2A plus 3.
Și acum ne găsim în mulțimea numerelor reale.
Deci această egalitate are loc pentru elemente din 1 plus infinit care sunt numerele reale.
Înseamnă că putem să reducem 3 pentru că se găsește în ambii membrii.
Putem să-l reducem pe minus 2A cu minus 2A și minus 2B cu minus 2B.
De fapt putem face acest lucru pentru că operația de adunare pe mulțimea numerelor reale este comutativă.
Și atunci minus 2 pe lângă A plus B e tot una cu minus 2 pe lângă B plus A.
Și pentru că operația de înmulțire este comutativă pe R, deci și pe 1 plus infinit, putem să reducem și 2AB cu 2BA.
Vă spuneam atunci când am dat exemplele de operații comutative că ne vom folosi de comutativitatea acelor operații pentru rezolvarea exercițiilor.
Aici am folosit comutativitatea operației de înmulțire pe R și comutativitatea operației de adunare pe R.
În consecință vom avea că 0 este egal cu 0 pentru că nu mai avem niciun termen în niciunul din cei doi membri ai egalității pentru orice A și B din mulțimea 1 plus infinit.
Această egalitate fiind adevărată, ne rezultă că operația este comutativă și A compus cu B este egal cu B compus cu A pentru orice AB din M.