Transcript: Proiecții ortogonale pe un plan. Aplicații.

În continuare să aplicăm în două exerciții această noțiune de proiecție ortogonală pe un plan și ni se dă aici un cub ABCD A'B'C'D'
și vrem mai întâi să determinăm proiecția punctului A' pe planul ABC. Iată, aici avem punctul A' iar planul ABC,
haide să-l hașurăm, este acesta, avem aici planul ABC. Bun, care este proiecția punctului A' pe acest plan?
Păi e foarte simplu pentru că, iată, A'A este perpendiculară pe planul ABC, deci notăm A'A perpendiculară pe planul ABC
de unde rezultă că proiecția punctului A' pe acest plan este chiar punctul A, deci ștergem aici și trecem că obținem punctul A.
A doua cerință, să determinăm acum proiecția tot pe planul ABC a segmentului B'D', segment deschis.
Iată, segmentul B'D' este acesta. Care este proiecția acestui segment pe planul ABC, care de fapt este unul și același cu planul ABCD?
Deci putem să prelungim aici, avem unul și același plan.
Păi proiecția punctului D' pe planul ABCD este chiar punctul D, pentru că D' e perpendiculară pe acest plan, deci voi scrie direct că proiecția punctului D' pe planul ABCD,
de fapt trebuie să scriem mai la dreapta, voi trece doar ABC, este de fapt punctul D, iar proiecția punctului B' pe același plan ABC este de fapt punctul B.
Păi proiectând punctul D' obținem punctul D, proiectând B'obținem punctul B, înseamnă că proiectând de fapt segmentul D'B' vom obține acest segment DB.
Deci notăm aici, rezultă că din aceste două relații proiecția acestui segment deschis pe planul ABC este de fapt segmentul deschis BD.
Al doilea exercițiu este acesta în care ni se dă dreapta AB perpendiculară pe planul ALFA, ni se mai dă punctul C care aparține planului ALFA, la fel și punctul B aparține lui ALFA și vrem să determinăm proiecția pe planul ALFA a punctului B.
Păi devreme ce punctul B este în planul ALFA, deci B aparține planului ALFA, rezultă că proiecția pe planul ALFA a punctului B este chiar punctul B.
Următoarea cerință, proiecția punctului A pe planul ALFA.
Dacă proiectăm punctul A pe planul ALFA, atunci ce punct vom obține?
Vom obține punctul B pentru că dreapta AB perpendiculară pe ALFA, deci AB perpendiculară pe ALFA, iată avem relația și aici, rezultă că proiecția punctului A pe planul ALFA este punctul B.
Să găsim acum proiecția dreptei AB pe planul ALFA, deci proiectăm dreapta AB pe acest plan.
Păi cum este dreapta AB față de planul ALFA?
Este perpendiculară pe acest plan, deci dacă AB perpendiculară pe ALFA, atunci ce vom obține?
Păi orice punct de pe această dreaptă am proiectat pe planul ALFA ne va da punctul B, adică punctul de intersecție al dreptei cu planul.
Deci rezultă că proiecția pe planul ALFA dreptei AB este dată de punctul B pe care, atenție, îl trecem întreacolade.
Avem aici mulțimea formată din punctul B pentru că și aici proiectăm o mulțime, mulțimea punctelor care alcătuesc dreapta AB.
Altă cerință, să găsim acum proiecția pe planul ALFA segmentului AB, iată segmentul AB.
Însă explicația este asemănătoare cu cea de aici pentru că segmentul AB se află pe dreapta AB care e perpendiculară pe planul ALFA,
deci proiectând acest segment pe plan ne va da tot punctul B.
Deci venim aici și ștergem și trecem direct că obține mulțimea formată din punctul B.
Să găsim acum proiecția segmentului AC pe planul ALFA, deci proiectăm segmentul AC pe acest plan.
Păi trebuie să proiectăm capetele acestui segment și atunci proiecția punctului A pe planul ALFA care este proiecția punctului A pe planul ALFA este dată de punctul B.
Proiecția punctului C pe planul ALFA este chiar punctul C pentru că C aparține planului.
Păi ce rezultă de aici?
Că proiecția pe planul ALFA a segmentului AC este segmentul BC, deci proiecția pe planul ALFA a segmentului închis AC este de fapt segmentul închis BC.
Adică acest segment.
Și ultima întrebare, să determinăm proiecția dreptei AC pe planul ALFA.
Deja aici am stabilit că proiectând punctul A pe planul ALFA obținem punctul B, proiectând punctul C pe planul ALFA ne dă punctul C.
Deci proiectând dreapta AC pe planul ALFA vom obține dreapta BC sau CB cum vreți să-i spunem.
Ștergem aici și trecem dreapta BC.