Transcript: Proiecţii ortogonale

În această lecție o să vorbim despre proiecții ortogonale pe o dreaptă și o să încep cu o definiție.
Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă.
Dacă avem un punct A situat în exteriorul unei drepte D și ducem prin A o perpendiculară pe dreapta D,
atunci proiecția punctului A pe dreapta D va fi punctul A'
În cazul în care un punct este situat pe dreaptă, atunci proiecția acestui punct va coincide cu punctul respectiv.
Pentru proiecția punctului A pe dreapta D vom folosi această notație,
iar proiecția punctului M pe dreapta D coincide cu punctul M, deoarece punctul M este situat pe dreapta D.
O altă definiție, proiecția unei figuri pe o dreaptă este mânțimea proiecțiilor punctelor pe acea dreaptă.
Avem o figură geometrică F și proiectăm toate punctele acestei figuri pe dreapta D,
iar unind proiecțiile acestora se obține segmentul AB, adică porțiunea MOV de pe dreapta D.
Proiecția figurii geometrice F pe dreapta D este segmentul AB.
O să vedem în continuare ce înțelegem prin proiecția unui segment pe o dreaptă.
Proiecția ortogonală a unui segment AB pe o dreaptă D este segmentul A'B',
unde punctele A' și B' sunt proiecțiile ortogonale ale punctelor A și B pe dreapta D.
Proiecția ortogonală a unui segment poate fi un segment sau un punct.
În primul caz, proiecția segmentului AB pe dreapta D este segmentul A'B',
deoarece proiecția punctului A pe dreapta D este punctul A'
iar proiecția punctului B pe dreapta D este punctul B'.
Unind cele două proiecții se obține proiecția segmentului AB pe dreapta D,
iar aceasta va fi segmentul A'B'.
În cazul în care segmentul AB este situat perpendicular pe dreapta D,
atunci proiecția acestuia va fi un punct.
În acest caz, am notat proiecția segmentului AB pe dreapta D cu punctul A'.
O să vedem în continuare câteva proprietăți.
Dacă dreapta AB este paralelă cu dreapta D,
atunci proiecția ortogonală a segmentului AB pe dreapta D este un segment congruent cu AB.
Observăm că în acest caz segmentul AB este congruent cu segmentul A'B'.
Iar în cazul în care dreapta AB nu este paralelă cu dreapta D,
atunci proiecția ortogonală a segmentului AB pe dreapta D va avea lungimea mai mică decât lungimea segmentului AB.
Observăm așadar că lungimea proiecției unui segment este cel mult egală cu lungimea segmentului respectiv.
O să facem în continuare o aplicație.
Avem un triunghi dreptunghic ABC cu măsura unghiului A de 90 de grade,
iar în acest triunghi am dus o perpendiculară AD pe dreapta BC.
Laturile AB și AC se numesc catete, iar latura care se opune unghiului drept, adică BC, se va numi ipotenuză.
Să vedem în continuare câteva proiecții.
La punctul A o să scriem proiecția punctului A pe dreapta BC.
Având în vedere că AD este perpendiculară pe BC, proiecția punctului A pe ipotenuză va fi punctul D.
La punctul B o să scriem proiecția punctului B pe dreapta AC.
Având în vedere că BA este perpendiculară pe AC, proiecția punctului B pe dreapta AC va fi punctul A.
La punctul C o să scriem proiecția punctului C pe dreapta AB.
Piciorul perpendicularei duse din punctul C pe cateta AB este chiar punctul A.
La punctul D o să aflăm proiecția catetei AB pe ipotenuză BC.
Vă reamintesc că proiecția unui segment pe o dreaptă se obține unind proiecțiile extremităților acelui segment pe dreaptă.
Proiecția punctului B pe dreapta BC este punctul B, deoarece acesta aparține dreptei BC, iar proiecția punctului A pe dreapta BC este punctul D.
Unind cele două proiecții obținem segmentul BD.
La punctul E o să aflăm proiecția catetei AC pe ipotenuză BC.
Proiecția acestei catete pe ipotenuză va fi segmentul DC.
Pentru că proiecția punctului A pe ipotenuză este punctul D, iar proiecția punctului C pe ipotenuză este punctul C.
Unind punctele D și C obținem segmentul DC.
Proiecția segmentului AD pe ipotenuză BC.
Având în vedere că AD este perpendiculară pe BC, proiecția acestui segment va fi un punct și anume punctul D.
Proiecția ipotenuzei BC pe cateta AB.
Proiecția punctului B pe dreapta AB este punctul B, iar proiecția punctului C pe dreapta AB este punctul A.
Astfel proiecția ipotenuzei BC pe cateta AB va fi cateta AB.
Aflăm proiecția catetei AB pe cateta AC.
Având în vedere că AB este perpendiculară pe AC, deoarece măsura unghiului A este egală cu 90 de grade, proiecția segmentului AB va fi un punct și anume punctul A.
Și ultimul punct.
Aceasta o să vă rămână tema.