Transcript: Progresii aritmetice - noțiuni introductive

Mai țineți minte acele probleme de logică în care aveam o secvență și trebuia să ghițim ce număr urmează?
Haideți să vedem dacă reușim să scriem numărul care urmează în fiecare dintre cele trei secvențe.
În prima secvență avem numerele 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
Este foarte ușor de observat faptul că fiecare număr se obține din numărul precedent la care se adaugă numărul 2.
Așadar, numărul care urmează va fi 15 plus 2, adică 17.
În a doua secvență avem numerele minus 20, minus 15, minus 10, minus 5, 0, 5 și 10.
Observăm că în acest caz fiecare număr se obține din numărul precedent la care se adaugă 5.
Așadar, aici o să avem 10 plus 5, adică 15.
Și în a treia secvență avem numerele 1, minus 2, minus 5, minus 8, minus 11, minus 14, minus 17.
În acest caz putem observa că fiecare număr se obține din numărul precedent, din care scădem 3.
Sau mai putem spune că adunăm numărul minus 3.
Minus 17 minus 3 va fi minus 20.
Un astfel de șir în care fiecare termen se obține din termenul precedent prin adăugarea aceluiași număr se numește progresie aritmetică.
În prima secvență am văzut că fiecare număr se obține din numărul precedent la care se adaugă numărul 2.
Acest număr 2 se numește rația progresiei și se notează cu R.
Așadar, în acest caz rația este egală cu 2, în a doua secvență rația este egală cu 5 și în a treia secvență rația este egală cu minus 3.
Dacă un șir AN este progresie aritmetică, atunci notăm acest lucru astfel și putem observa că are loc următoarea relație de recurență.
AN este egal cu AN minus 1 plus R, oricare ar fi N un număr mai mare sau egal cu 2.
Așadar, fiecare termen începând cu al doilea se obține din termenul precedent la care se adaugă rația.
Iar primul termen, A1, este un număr real fixat.
Așadar, spunem că o progresie aritmetică este bine determinată dacă se cunosc primul termen A1 și rația.
Cu alte cuvinte, dacă știm primul termen și rația, putem să scriem toți termenii progresiei aritmetice.
Această relație de recurență se mai poate scrie și astfel, AN minus AN minus 1 egal cu R.
Așadar, diferența a doi termeni consecutivi este întotdeauna un număr constant și acest număr este chiar rația progresiei.
Așadar, pentru a verifica dacă un șir este progresie aritmetică, verificăm dacă diferența a doi termeni consecutivi este un număr constant.
Haideți în continuare să facem două exerciții.
Primul exercițiu.
Scrieți primii patru termeni ai progresiei aritmetice AN dacă A1 este egal cu 5 și rația este egală cu minus 2.
Așadar, primul termen A1 este egal cu 5.
Al doilea termen A2 se obține din primul termen A1 la care se adaugă rația, adică 5 plus minus 2 și obținem 3.
A3 este egal cu A2 plus rația, adică 3 plus minus 2 și obținem 1.
Și al patrulea termen A4 va fi egal cu A3 plus rația, adică 1 plus minus 2, egal cu minus 1.
Și continuăm cu al doilea exercițiu.
Fie șirul AN în care termenul general este dat de formula AN egal cu 3N minus 5.
La punctul A se cere să verificăm dacă șirul este progresie aritmetică, iar la punctul B să scriem primii cinci termeni ai șirului.
Pentru a verifica dacă un șir este progresie aritmetică, trebuie să vedem dacă diferența a doi termeni consecutivi este constantă, adică nu depinde de N.
Și atunci haideți să calculăm diferența AN minus AN minus 1, egal cu 3N minus 5 minus...
Pentru a scrie acum termenul de rang N minus 1, în formula termenului general îl înlocuim pe N cu N minus 1 și o să obținem 3 pe lângă N minus 1 minus 5,
egal cu 3N minus 5 minus 3N minus 3 minus 5 minus 8, egal cu 3N minus 5 minus 3N plus 8.
Se reduce 3N cu minus 3N și obținem în final 3.
Observăm așadar că diferența a doi termeni consecutivi este constantă, pentru că nu depinde de N, așadar șirul AN este progresie aritmetică.
Iar la punctul B trebuie să scriem primii cinci termeni a șirului.
Primul termen este A1 și se obține înlocuind pe N cu 1, deci avem 3 ori 1 minus 5, egal minus 2.
A2 este egal cu 3 ori 2 minus 5, 6 minus 5 este egal cu 1.
A3 este egal cu 3 ori 3 minus 5, 9 minus 5, 4.
A4 este egal cu 3 ori 4 minus 5, 12 minus 5, 7.
Și A5 este egal cu 3 ori 5 minus 5, 15 minus 5, 10.
Mai există și o altă modalitate prin care putem să scriem acești cinci termeni.
Noi am calculat la punctul A diferența a doi termeni consecutivi, iar aceasta este rația progresiei, așadar rația este egală cu 3.
Am calculat primul termen A1, acesta este minus 2, și atunci A2 se poate scrie A1 plus rația, adică minus 2 plus 3 și egal cu 1.
A3 este egal cu A2 plus rația, adică 1 plus 3 egal cu 4.
A4 este A3 plus rația, 4 plus 3 egal cu 7.
Și A5 este A4 plus rația, adică 7 plus 3 și egal cu 10.