Transcript: Produsul scalar exprimat cu ajutorul coordonatelor

În această lecție vom deduce expresia analitică a produsului scalar a doi vectori, iar apă să facem câteva aplicații.
Avem un reper cartezian O, I, J, unde I și J sunt versori, adică vectorii unitate ai direcțiilor pozitive ale axelor OX, respectiv OY.
Vom nota cu A1 și A2 coordonatele unui vector A și cu B1, B2 coordonatele unui vector B.
Atunci vectorii A și B se pot scrie cu ajutorul versorilor astfel.
A este egal cu A1i plus A2j, iar B va fi egal cu B1i plus B2j.
În continuare vom exprima produsul scalar a celor doi vectori cu ajutorul coordonatelor și vom vedea că nu este necesar să cunoaștem unghiul dintre aceștia.
Mai mult, produsul astfel obținut se poate folosi pentru a calcula unghiul dintre cei doi vectori.
Haideți să calculăm produsul scalar A ori B.
Vom avea A1i plus A2j înmulțit cu B1i plus B2j.
Egal cu A1B1i ori i plus A1B2i ori j plus A2B1j ori i plus A2B2j ori j.
În continuare va trebui să calculăm aceste produse scalare.
Haideți să calculăm produsul scalar I ori I.
Conform definiției, acest produs va fi egal cu modulul vectorului I ori modul de I ori cosinus de 0.
I și j sunt vectori unitate, prin urmare modulele lor sunt egale cu 1.
Deci modul de I este 1, iar cosinus de 0 este 1.
Prin urmare I ori I este egal cu 1.
În mod analog obținem j ori j egal cu 1.
Apoi I ori j va fi egal cu modul de I ori modul de j ori cosinus de 90 de grade egal cu 1 ori 1 ori cos de 90 este 0.
Prin urmare I ori j este egal cu 0.
J ori I va fi de asemenea egal cu 0.
Deci I ori I este 1, I ori j 0, j ori I 0, iar j ori j 1.
Și atunci vom obține a1b1 plus a2b2, pentru cât acești termeni se anulează.
Am obținut așadar expresia analitică a produsului scalar a2vector a ori b va fi egal cu a1b1 plus a2b2.
Să reținem această formulă pentru că o vom aplica în exerciții.
În continuare, haideți să vedem cum putem să calculăm modulul unui vector când se cunosc coordonatele acestuia.
În reperul cartezian OIJ am construit un vector a, iar a1 și a2 reprezintă coordonatele acestuia.
Putem să și scriem a, având coordonatele a1, a2.
Ne propunem în continuare să calculăm modulul vectorului a.
Pentru aceasta vom aplica teorema Lipitagora în acest triunc dreptunghic.
Lungimea acestui segment este egală cu a2, iar lungimea acestui segment este egală cu a1.
Prin urmare, modul de a la pătrat va fi egal cu a1 la pătrat plus a2 la pătrat.
Deci modulul vectorului a este radical din a1 la pătrat plus a2 la pătrat.
Aceasta este formula de calcul pentru modulul vectorului a, având coordonatele a1 și a2.
În continuare vom determina formula de calcul pentru cosinusul unghiului a doi vectori în funcție de coordonatele acestora.
Știm din lecția trecută că formula de calcul pentru cosinus de alfa este
Înlocuind produsul scalar a ori b, respectiv modulele celor doi vector cu expresiile pe care tocmai le-am găsit,
atunci formula pentru cosinus de alfa va fi următoarea.
Radical din a1 la pătrat plus a2 la pătrat ori radical din b1 la pătrat plus b2 la pătrat.
În continuare vom face câteva exerciții.
Primul exercițiu. Avem doi vectori a și b, unde a este egal cu 3i plus 2j, iar b este egal cu i minus 4j.
Se cere să calculăm produsul scalar a ori b.
Coordonatele vectorului a sunt 3 și 2, iar coordonatele vectorului b sunt 1 și minus 4.
Atunci a ori b este egal cu a1b1 plus a2b2 și egal cu 3 ori 1 plus 2 ori minus 4.
Egal cu 3 minus 8 minus 5.
Un al doilea exercițiu. Avem vectorii a și b, unde a este egal cu i minus 2j, iar b este egal cu minus i plus j.
Se cere să calculăm cosinusul unghiului dintre cei doi vectori.
Vectorul a are coordonatele 1 și minus 2, vectorul b are coordonatele minus 1, 1.
Cosinus de alfa este produsul scalar dintre a și b supra modulul vectorului a ori modul de b.
a ori b este egal cu a1b1 plus a2b2, deci avem 1 ori minus 1 plus minus 2 ori 1, egal cu minus 3.
Modulul vectorului a este radical din a1 la pătrat plus a2 la pătrat, egal cu radical din 1 la pătrat plus minus 2 la pătrat și egal cu radical din 5.
Iar modulul vectorului b este radical din b1 la pătrat plus b2 la pătrat, adică radical din minus 1 la pătrat plus 1 la pătrat, egal radical din 2.
Și acum revenim la această formulă și obținem a ori b este minus 3, modulul vectorului a este radical din 5, iar modul de b este radical din 2, deci egal în continuare cu minus 3 supra radical din 10.
Și un ultim exercițiu.
Avem 2 vectori u și v, se știe că modul de u este egal cu 2, modulul vectorului v este egal cu 1, iar unghiul alfa dintre cei 2 vectori este egal cu pi supra 6 radiani.
Se cere să calculăm u minus v înmulțit cu 2u plus v.
Desfacem parantezele și avem 2u ori u plus u ori v minus 2v ori u minus v ori v și egal cu 2u la pătrat,
uv minus 2uv este minus uv minus v la pătrat.
Acum u la pătrat, care este de fapt u ori u, va fi egal conform definiției cu modul de u ori modul de u ori cos de 0 și egal cu modul de u la pătrat, egal cu 2 la a doua și egal cu 4.
În mod analog, v la a doua va fi egal cu modul de v la pătrat și egal cu 1, iar produsul scalar dintre u și v va fi egal cu modul de u ori modulul vectorului v ori cos de pi supra 6 și egal cu 2 ori 1 ori radical din 3 pe 2 egal cu radical din 3.
Și acum să continuăm aici, avem 2 ori 4 minus radical din 3 minus 1 și egal cu 7 minus radical din 3.