Transcript: Produsul cartezian a două mulțimi

Produsul cartezian a două mulțimi. Sistem de axe ortogonale. Fie a și b două mulțimi nevide.
Produsul cartezian al mulțimilor a și b se notează cu a ori b și este format din toate perechile ordonate de forma x,y,
unde x este un element al mulțimii a și y este un element al mulțimii b.
Să facem un exemplu.
Fie mulțimea a formată din elementele 2 și 3 și mulțimea b formată din numerele 4, 5 și 6.
Să calculăm produsul cartezian a ori b.
Mai întâi vom lua primul element al mulțimii a și îl grupăm cu fiecare element al mulțimii b,
apoi continuăm cu al doilea element al mulțimii a și îl grupăm pe rând cu fiecare element din mulțimea b.
Prima pereche va fi 2,4, urmează 2,5, 2,6
și acum continuăm cu al doilea număr din mulțimia a și formăm perechile 3,4,
3,5 și 3,6.
Acesta este produsul cartezian a ori b.
Rețineți că produsul cartezian nu este comutativ pentru că a ori b va fi diferit de b ori a.
Haideți să calculăm și produsul b ori a.
Pentru acest produs vom începe cu elementele mulțimii b și le grupăm pe rând cu elementele mulțimii a.
Primul număr din mulțimea b este 4 și atunci formăm perechi care încep cu 4,
4,2, 4,3,
continuăm cu al doilea număr din mulțimea b și formăm perechile 5,2
5,3
și ultimele două perechi sunt 6,2
și 6,3.
Observăm așadar că a ori b este diferit de b ori a.
Un alt exemplu
fie mulțimea a formată din numerele 0 și 1
și mulțimea b formată din numărul 8.
Vom calcula produsul cartezian a ori b.
Începem cu elementele mulțimii a și formăm perechea 0,8 și 1,8.
Acestea două sunt cele două elemente ale produsului cartezian, deci elementele unui produs sunt perechi.
Un alt exemplu
avem mulțimea a formată din numărul 10
și mulțimea b formată din elementele 3, 5 și 9.
Produsul cartezian a ori b va fi format din următoarele perechi de numere
10,3
10,5
și 10,9.
În continuare o să vedem cum putem să reprezentăm grafic elementele unui produs cartezian.
Pentru a reprezenta geometric produsul cartezian a două mulțimi avem nevoie de un sistem de axe ortogonale.
Construim două axe perpendiculare, iar punctul de intersecție al celor două drepte se va numi originea sistemului ortogonal și se notează cu litera O.
Pe cele două axe alegem aceeași unitate de măsură.
Axea OX se va numi axea absciselor, iar axea OY se numește axea ordonatelor.
Ne propunem să reprezentăm grafic produsul cartezian al mulțimilor A egal 1 și 2
și B, mulțimea formată din numerele 3 și 4.
Mai întâi să scriem elementele mulțimii a ori b.
Aceasta va conține următoarele perechi de numere, perechea 1-3, perechea 1-4, perechea 2-3 și 2-4.
Pentru a reprezenta grafic aceste puncte, mai întâi vom reprezenta pe una din axe elementele mulțimii a, iar pe cealaltă axe elementele mulțimii b.
Voi reprezenta pe axea OX numerele 1 și 2,
iar pe axea OY avem numerele 3 și 4.
Aici este 3 și aici avem numărul 4.
Și acum trebuie să reprezentăm prima pereche formată din numerele 1 și 3.
Prin 1 vom duce o paralelă la axea OY punctat,
iar de la 3 ducem o paralelă la axea OX punctat.
Punctul în care se intersectează cele două drepte va fi reprezentarea grafică a perechii 1-3.
Voi nota acest punct cu litera M.
Vom spune că punctul M are coordonatele 1 și 3.
A doua pereche, 1-4, de la 1 ducem paralelă la axea OY,
iar de la 4 vom duce o paralelă la axea OX
iar punctul în care se intersectează cele două paralele va fi punctul N
și vom spune că N are coordonatele 1 și 4.
Următoarea pereche, 2-3, de la 2 ducem o paralelă la axea OY,
și de la 3 avem deja desenată paralela la axea OX
și atunci punctul în care se intersectează aceste două paralele va fi al treilea punct notat cu P,
P de coordonate 2-3.
Și ultima pereche, 2-4,
avem deja desenate paralelele de la 2 și de la 4 cu axele OX și OY
și atunci punctul de intersectie al acestor drepte va fi punctul Q de coordonate 2-4.
Cele patru puncte constituie reprezentarea geometrică a produsului cartezian AORB.